Satz von Osgood (Funktionentheorie)

Der Satz von Osgood (nach William Osgood) ist eine Aussage der Funktionentheorie und besagt, dass jede injektive holomorphe Funktion eine biholomorphe Abbildung auf ihr Bild ist.

Satz

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb{C}^n} offen und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}} eine injektive holomorphe Funktion. Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega' := f(\Omega) \subseteq \mathbb{C}^n} offen und die Umkehrabbildung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f^{-1}\colon \Omega '\to \Omega } ist holomorph, also die Abbildung $f$ biholomorph.

Da Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist, gilt der Satz auch für Abbildungen zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten.

Unterschied zum reellen Fall

Für reell-analytische Funktionen gilt die Aussage des Satzes nicht. Beispielsweise ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon (-1, 1) \to (-1, 1)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \mapsto x^3} bijektiv und analytisch, aber die Umkehrfunktion ist im Nullpunkt nicht mehr analytisch.

Literatur

• Raghavan Narasimhan: Several Complex Variables., University of Chicago Press, Chicago 1971, ISBN 0-226-56817-2