Satz von Paley-Wiener

Der Satz von Paley-Wiener, benannt nach Raymond Paley und Norbert Wiener, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Er charakterisiert die Fourier-Laplace-Transformationen glatter Funktionen mit kompaktem Träger bzw. temperierter Distributionen mit kompaktem Träger mittels Wachstumsbedingungen.

Einführung

Ist $f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ eine integrierbare Funktion, so kann man bekanntlich die Fourier-Transformierte

${\hat {f}}(\xi ):=(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-\mathrm {i} \langle \xi ,x\rangle }\mathrm {d} x$

bilden, wobei $\xi \in \mathbb {R} ^{n}$ und $\langle \xi ,x\rangle$ das Skalarprodukt der Vektoren $\xi ,x\in \mathbb {R} ^{n}$ ist. Diese Formel ist auch für komplexe Vektoren $\zeta \in \mathbb {C} ^{n}$ sinnvoll. Man nennt

$F_{f}\colon \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ,\,F_{f}(\zeta ):=(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-\mathrm {i} \langle \zeta ,x\rangle }\mathrm {d} x$

die Fourier-Laplace-Transformierte von $f$. Durch Dualisierung kann man diese Begriffsbildung auf Distributionen mit kompaktem Träger ausdehnen. Ist $T$ eine temperierte Distribution, so ist durch

${\hat {T}}(\xi ):=(2\pi )^{-n/2}\,T(x\mapsto e^{-\mathrm {i} \langle \xi ,x\rangle })$

die Fourier-Transformierte definiert. Dazu ist nur zu beachten, dass $x\mapsto e^{-\mathrm {i} \langle \xi ,x\rangle }$ eine glatte Funktion ist und dass die Distributionen mit kompaktem Träger genau die stetigen, linearen Funktionale auf dem Raum der glatten Funktionen sind. Obige Formel lässt sich offensichtlich auch für $\zeta \in \mathbb {C} ^{n}$ schreiben und man nennt

$F_{T}(\zeta ):=(2\pi )^{-n/2}\,T(x\mapsto e^{-\mathrm {i} \langle \zeta ,x\rangle })$

wieder die Fourier-Laplace-Transformierte von $T$.

Die Fourier-Laplace-Transformierten sind holomorphe Funktionen $\mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C}$ und es stellt sich die Frage, welche holomorphen Funktionen hier als Fourier-Laplace-Transformationen auftreten können. Genau diese Frage beantwortet der Satz von Paley-Wiener.

Satz von Paley-Wiener für Funktionen

Eine holomorphe Funktion $F\colon \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C}$ ist genau dann die Fourier-Laplace-Transformierte einer glatten Funktion mit Träger in der Kugel $\{x\in \mathbb {R} ^{n}|\,\|x\|\leq B\}$, wenn es zu jedem $N\in \mathbb {N}$ eine reelle Konstante $C_{N}>0$ gibt, so dass

$|F(\zeta )|\leq C_{N}(1+\|\zeta \|)^{-N}e^{B\|\mathrm {Im} \zeta \|}$

für alle $\zeta \in \mathbb {C} ^{n}$.

Dabei ist $\mathrm {Im} \zeta$ der reelle Vektor der Imaginärteile der Komponenten des Vektors $\zeta$.

Satz von Paley-Wiener für Distributionen

Eine holomorphe Funktion $F\colon \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C}$ ist genau dann die Fourier-Laplace-Transformierte einer Distribution mit Träger in der Kugel $\{x\in \mathbb {R} ^{n}|\,\|x\|\leq B\}$, wenn es Konstanten $N\in \mathbb {N}$ und $C>0$ gibt, so dass

$|F(\zeta )|\leq C(1+\|\zeta \|)^{N}e^{B\|\mathrm {Im} \zeta \|}$

für alle $\zeta \in \mathbb {C} ^{n}$.

Bemerkung

Die Bedingung im Satz für Funktionen ist restriktiver als die Bedingung im Satz für Distributionen. Das ist nicht verwunderlich, denn jede glatte Funktionen $f$ mit kompaktem Träger definiert mittels $\textstyle T_{f}(g):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\mathrm {d} x$ eine Distribution $T_{f}$ mit kompakten Träger, der im Träger von $f$ liegt, und für die Fourier-Laplace-Transformationen gilt

$F_{T_{f}}(\zeta )=(2\pi )^{-n/2}\,T_{f}(x\mapsto e^{-\mathrm {i} \langle \zeta ,x\rangle })=(2\pi )^{-n/2}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-\mathrm {i} \langle \zeta ,x\rangle }\mathrm {d} x=F_{f}(\zeta )$,

das heißt die Fourier-Laplace-Transformierte einer glatten Funktion mit kompaktem Träger ist auch die Fourier-Laplace-Transformierte der durch sie definierten Distribution mit kompaktem Träger.

Beispiele

Die Sätze von Paley-Wiener sollen anhand von zwei Beispielen erläutert werden.

Sei zunächst $f(x):=e^{-x^{2}}$. Die Fourier-Laplace-Transformierte ist

$F_{f}(\zeta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{-{\frac {1}{4}}\zeta ^{2}}$.

Ist $\zeta =\xi +\mathrm {i} \eta$ die Zerlegung in Real- und Imaginärteil, so ist $\zeta ^{2}=\xi ^{2}+2\mathrm {i} \eta \xi -\eta ^{2}$, das heißt $F_{f}$ wächst für festen Realteil wie $e^{{\frac {1}{4}}\eta ^{2}}$, jedenfalls schneller als $e^{B|\eta |}=e^{B|\mathrm {Im} \zeta |}$ für jede Konstante $B>0$. Dies spiegelt gemäß obiger Sätze die Tatsache wider, dass $f$ keinen kompakten Träger hat.

Sei nun $T$ die Distribution $\textstyle T(\varphi ):=\int _{[-1,1]}\varphi (x)\mathrm {d} x$. Eine kurze Rechnung zeigt

$F_{T}(\zeta )=(2\pi )^{-1/2}\int _{[-1,1]}e^{-\mathrm {i} x\zeta }\mathrm {d} x=\ldots ={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sin(\zeta )}{\zeta }}$,

wobei für $\zeta =0$ stetig zu $\textstyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ fortgesetzt wird. Ist $\zeta =\xi +\mathrm {i} \eta$ die Zerlegung in Real- und Imaginärteil, so gilt $\sin(\zeta )=\sin(\xi )\cosh(\eta )+\mathrm {i} \cos(\xi )\sinh(\eta )$, das heißt $|{\sin(\zeta )}|$ lässt sich gegen $e^{|\eta |}=e^{1\cdot |\mathrm {Im} \zeta |}$ abschätzen, denn die hyperbolischen Funktionen erlauben eine solche Abschätzung. Daraus folgt, dass $F_{T}$ die Wachstumsbedingung aus dem Satz von Paley-Wiener für Distributionen mit $B=1$ erfüllt. In der Tat ist $T$ eine Distribution mit dem kompakten Träger $[-1,1]$. Die holomorphe Funktion $F_{T}$ erfüllt aber nicht die Bedingung aus dem Satz von Paley-Wiener für Funktionen, denn gäbe es für $N=2$ eine Konstante $C_{N}$ wie im Satz, so folgte

${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {|{\sin(\zeta )}|}{|\zeta |}}\leq {\frac {C_{2}}{(1+|\zeta |)^{2}}}e^{B|\mathrm {Im} \zeta |}$.

Speziell für reelle $\zeta$ ist der Exponentialterm gleich 1 und es folgte $\textstyle |{\sin(\zeta )}|\leq C_{2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {|\zeta |}{(1+|\zeta |)^{2}}}$, und damit würde die Sinusfunktion für große reelle Argumente gegen 0 gehen, was aber bekanntlich nicht der Fall ist. Zwar kommt die Distribution von der charakteristischen Funktion des Intervalls [-1,1] her, und diese hat auch einen kompakten Träger, aber sie ist nicht glatt.