Satz von Rademacher

Der Satz von Rademacher, benannt nach dem deutschen Mathematiker Hans Rademacher, ist ein Satz der Analysis über Lipschitz-stetige Funktionen.

Aussage

Seien $n,m\in \mathbb {N}$ natürliche Zahlen, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Teilmenge eines euklidischen Raumes und schließlich $f\colon U\to \mathbb {R} ^{m}$ eine Lipschitz-stetige Funktion. Dann ist $f$ fast überall (total) differenzierbar.

Das heißt, die Menge aller Punkte, in denen $f$ nicht differenzierbar ist, ist eine Lebesgue-Nullmenge.

Verallgemeinerung

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen $f\colon U\to (X;d_{X})$, wobei $X$ nun einen beliebigen metrischen Raum bezeichne.

Zunächst ist jedoch nicht klar, wie sich obiger Satz auf diesen Fall übertragen lässt, denn ein metrischer Raum trägt nicht a priori auch eine lineare Struktur.

Fasst man $f$ als Funktion zwischen normierten Räumen auf und legt die Fréchet-Differenzierbarkeit zu Grunde, dann wird der Satz sogar falsch:

Als Gegenbeispiel dient hier klassisch die Funktion $\Phi \colon [0;1]\to L^{1}([0;1]),\ t\mapsto \chi _{[0;t]}$. Wobei $\chi _{[0;t]}$ die charakteristische Funktion des Teilintervalls $[0;t]$ bezeichne.

Es gilt für beliebige $\ 1\geq y\geq x\geq 0$:

$\|\Phi (y)-\Phi (x)\|_{L^{1}}=\int _{0}^{1}|\chi _{[0,y]}(t)-\chi _{[0,x]}(t)|\,dt=\int _{x}^{y}1\ dt=|y-x|\,.$

Dabei bezeichne $\|.\|_{L^{1}}$ die L¹-Norm. Das heißt, $\Phi$ ist eine Isometrie und damit erst recht Lipschitz-stetig, es lässt sich aber zeigen, dass $\Phi$ nirgendwo Fréchet-differenzierbar ist.

Der deutsche Mathematiker Bernd Kirchheim hat nun aber den Satz von Rademacher in einem anderen Sinne verallgemeinern können:

Ist eine Funktion von einem euklidischen in einen metrischen Raum Lipschitz-stetig, so ist sie fast überall metrisch differenzierbar.