Satz von Seifert und van Kampen

Der Satz von Seifert und van Kampen (benannt nach Herbert Seifert und Egbert van Kampen) ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Topologie. Er macht eine Aussage über die Struktur der Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes X, indem man die Fundamentalgruppen zweier offener, wegzusammenhängender Unterräume U und V, welche X überdecken, betrachtet. So kann man die Fundamentalgruppe von komplizierten Räumen aus denjenigen einfacherer Räume berechnen.

Die einfache Hälfte des Satzes

Es sei $(X,*)$ ein wegzusammenhängender punktierter Raum. Weiter sei $(U_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ eine offene Überdeckung von X durch wegzusammenhängende Teilmengen, die alle den Punkt * enthalten und deren paarweise Schnitte jeweils auch wegzusammenhängend sind.

Für $\lambda \in \Lambda$ sei $f_{\lambda }:(U_{\lambda },*)\rightarrow (X,*)$ die Inklusion. Dann wird $\pi _{1}(X,*)$ erzeugt von den Untergruppen $\pi _{1}(f_{\lambda })(U_{\lambda },*),\lambda \in \Lambda .$

Die Aussage ist also, dass die relativen Homotopieklassen in X von geschlossenen Wegen, die ganz in einem $U_{\lambda }$ verlaufen, die Fundamentalgruppe von X erzeugen. Insbesondere ist X einfach zusammenhängend, wenn jedes $U_{\lambda }$ diese Eigenschaft besitzt.

Der eigentliche Satz von Seifert und van Kampen

Es seien $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum, $U_{1},U_{2}\subseteq X$ offen und wegzusammenhängend, sodass $X=U_{1}\cup U_{2}$ gilt, und $*\in U_{3}:=U_{1}\cap U_{2}$ . Auch $U_{3}$ sei wegzusammenhängend. Zu den Inklusionen von $U_{3}$ nach $U_{1},U_{2}$ gehören (nicht notwendigerweise injektive) Homomorphismen

$v_{i}:\pi _{1}(U_{3},*)\rightarrow \pi _{1}(U_{i},*),i=1,2.$

Zu den Inklusionen von $U_{j}$ nach $X$ gehören Homomorphismen

$u_{j}:\pi _{1}(U_{j},*)\rightarrow \pi _{1}(X,*),1\leq j\leq 3.$

Offensichtlich gilt hierbei $u_{3}=u_{i}\circ v_{i},i=1,2.$ Es seien weiter H eine beliebige Gruppe, und $p_{j}:\pi _{1}(U_{j},*)\rightarrow H$ Gruppenhomomorphismen mit der Eigenschaft

$p_{3}=p_{i}\circ v_{i},i=1,2.$

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus $p:\pi _{1}(X,*)\rightarrow H$, sodass

$p_{j}=p\circ u_{j},1\leq j\leq 3.$

Also sagt der Satz von Seifert und van Kampen eine universelle Abbildungseigenschaft der ersten Fundamentalgruppe aus.

Kombinatorische Version

In der Sprache der kombinatorischen Gruppentheorie ist $\pi _{1}(X,*)$ das amalgamierte Produkt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi _1(U_1,*)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi _1(U_2,*)} über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi _1(U_3,*)} via der Homomorphismen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_2} . Wenn diese drei Fundamentalgruppen folgende Präsentierungen haben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1(U_1,*) = \langle \alpha_1,...,\alpha_k | r_1,...,r_l\rangle} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1(U_2,*) = \langle \beta_1,...,\beta_m | s_1,...,s_n\rangle} und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1(U_3,*) = \langle \gamma_1,...,\gamma_p | t_1,...,t_q\rangle} ,

dann kann die Amalgamierung als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1(X,*) = \pi_1(U_1,*) \; *_{\pi_1(U_3,*)} \; \pi_1(U_2,*) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \langle \alpha_1,...,\alpha_k, \beta_1,...,\beta_m | r_1,...,r_l, s_1,...,s_n, v_1(\gamma_1)=v_2(\gamma_1),...,v_1(\gamma_p)=v_2(\gamma_p)\rangle}

präsentiert werden. Die Fundamentalgruppe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist also erzeugt von den Schleifen in den Teilräumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_2} ; als zusätzliche Relationen kommt nur hinzu, dass eine Schleife im Schnitt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_3} unabhängig davon, ob man sie als Element von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi _1(U_1,*)} oder von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi _1(U_2,*)} auffasst, dasselbe Element repräsentiert.

Beispiel zum Hilfssatz

Man nehme die n-dimensionale Sphäre Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S^{n}, n \geq 2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P, Q } zwei verschiedene Punkte aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S^{n}} . Dann sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_1 := S^n \setminus \{P\}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_2 := S^n \setminus \{Q\}} wegzusammenhängend. Ihr Durchschnitt ist wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \geq 2} auch wegzusammenhängend.

Nun ist aber Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S^n \setminus \{P\}} , mittels der stereographischen Projektion, homöomorph zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} . Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} kontrahierbar ist, gilt dies also auch für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_2} und daher haben diese triviale Fundamentalgruppen. Dies ist nicht vom Fußpunkt abhängig. Daher ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1 (S^n )} trivial.

Folgerungen

Wenn die Fundamentalgruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1 (U_3, *)} trivial ist, dann sagt der Satz von Seifert und van Kampen, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1 (X, *)} das freie Produkt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1 (U_1, *)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1 (U_2, *)} ist. Es wird von diesen Gruppen erzeugt und zwischen den Erzeugern gibt es keine Relationen, die nicht schon in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1 (U_1, *)} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1 (U_2, *)} gewesen wären. Insbesondere sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_2} injektiv.

Siehe auch

• Stefan Kühnlein, Skript: Einführung in die Topologie (2008)
• Sebastian Hage, Seminarvortrag: Der Satz von Seifert-van Kampen – Gruppoide, Pushouts & der Satz von Brown (2004; PDF; 517 kB). Enthält einen kategorientheoretischen sowie einen topologischer Beweis des Satzes.