Der Satz von Seifert und van Kampen (benannt nach Herbert Seifert und Egbert van Kampen) ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Topologie. Er macht eine Aussage über die Struktur der Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes X, indem man die Fundamentalgruppen zweier offener, wegzusammenhängender Unterräume U und V, welche X überdecken, betrachtet.
So kann man die Fundamentalgruppe von komplizierten Räumen aus denjenigen einfacherer Räume berechnen.
Die einfache Hälfte des Satzes
Es sei
ein wegzusammenhängender punktierter Raum. Weiter sei
eine offene Überdeckung von X durch wegzusammenhängende Teilmengen, die alle den Punkt * enthalten und deren paarweise Schnitte jeweils auch wegzusammenhängend sind.
Für
sei
die Inklusion.
Dann wird
erzeugt von den Untergruppen
Die Aussage ist also, dass die relativen Homotopieklassen in X von geschlossenen Wegen, die ganz in einem
verlaufen, die Fundamentalgruppe von X erzeugen.
Insbesondere ist X einfach zusammenhängend, wenn jedes
diese Eigenschaft besitzt.
Der eigentliche Satz von Seifert und van Kampen
Es seien
ein wegzusammenhängender topologischer Raum,
offen und wegzusammenhängend, sodass
gilt, und
. Auch
sei wegzusammenhängend. Zu den Inklusionen von
nach
gehören (nicht notwendigerweise injektive) Homomorphismen
![{\displaystyle v_{i}:\pi _{1}(U_{3},*)\rightarrow \pi _{1}(U_{i},*),i=1,2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a79d0c3a44a84e6689fd25a89f0218a27981c5e)
Zu den Inklusionen von
nach
gehören Homomorphismen
![{\displaystyle u_{j}:\pi _{1}(U_{j},*)\rightarrow \pi _{1}(X,*),1\leq j\leq 3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09fdf6d71d793b1b55cf21560c42488f1dcfe04e)
Offensichtlich gilt hierbei
Es seien weiter H eine beliebige Gruppe, und
Gruppenhomomorphismen mit der Eigenschaft
![{\displaystyle p_{3}=p_{i}\circ v_{i},i=1,2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17557dc95d683b74b63623fab473189939de4678)
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
, sodass
![{\displaystyle p_{j}=p\circ u_{j},1\leq j\leq 3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549e7c65f287035847d56e43ba74d85f83435db5)
Also sagt der Satz von Seifert und van Kampen eine universelle Abbildungseigenschaft der ersten Fundamentalgruppe aus.
Kombinatorische Version
In der Sprache der kombinatorischen Gruppentheorie ist
das amalgamierte Produkt von
und
über
via der Homomorphismen
und
. Wenn diese drei Fundamentalgruppen folgende Präsentierungen haben:
,
und
,
dann kann die Amalgamierung als
![{\displaystyle \pi _{1}(X,*)=\pi _{1}(U_{1},*)\;*_{\pi _{1}(U_{3},*)}\;\pi _{1}(U_{2},*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c16400fe7d39a0977473f074b134a0c328b0e5a)
![{\displaystyle =\langle \alpha _{1},...,\alpha _{k},\beta _{1},...,\beta _{m}|r_{1},...,r_{l},s_{1},...,s_{n},v_{1}(\gamma _{1})=v_{2}(\gamma _{1}),...,v_{1}(\gamma _{p})=v_{2}(\gamma _{p})\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143f85070bc20a84b4ce043a25a38da036ba4bc8)
präsentiert werden. Die Fundamentalgruppe von
ist also erzeugt von den Schleifen in den Teilräumen
und
; als zusätzliche Relationen kommt nur hinzu, dass eine Schleife im Schnitt
unabhängig davon, ob man sie als Element von
oder von
auffasst, dasselbe Element repräsentiert.
Beispiel zum Hilfssatz
Man nehme die n-dimensionale Sphäre
und
zwei verschiedene Punkte aus
.
Dann sind
und
wegzusammenhängend. Ihr Durchschnitt ist wegen
auch wegzusammenhängend.
Nun ist aber
, mittels der stereographischen Projektion, homöomorph zu
. Da
kontrahierbar ist, gilt dies also auch für
und
und daher haben diese triviale Fundamentalgruppen. Dies ist nicht vom Fußpunkt abhängig.
Daher ist auch
trivial.
Folgerungen
Wenn die Fundamentalgruppe
trivial ist, dann sagt der Satz von Seifert und van Kampen, dass
das freie Produkt von
und
ist. Es wird von diesen Gruppen erzeugt und zwischen den Erzeugern gibt es keine Relationen, die nicht schon in
oder
gewesen wären. Insbesondere sind
und
injektiv.
Siehe auch