Satz von Thomsen

Satz von Thomsen, $P_{7}=P_{1}$

Der Satz von Thomsen (nach Gerhard Thomsen) ist eine Aussage in der Elementargeometrie, die besagt, dass ein bestimmter über parallele Geradenstücke im Dreieck konstruierter Streckenzug immer an seinem Ausgangspunkt endet.

Bei einem beliebigen Dreieck ABC mit einem Punkt P₁ auf der Seite BC konstruiert man die folgenden Parallelen und Schnittpunkte. Die Parallele zu AC durch P₁ schneidet AB in P₂. Die Parallele zu BC durch P₂ schneidet AC in P₃ und die Parallele zu AB durch P₃ schneidet BC in P₄. Die Parallele zu AC durch P₄ schneidet AB in P₅ und die Parallele zu BC durch P₅ schneidet AC in P₆. Zum Schluss betrachtet man noch die Parallele zu AB durch P₆, die BC in P₇ schneidet. Der Satz von Thomsen besagt nun, dass P₇ und P₁ identisch sind, das heißt der durch Schnittpunkte mit den Parallelen entstandene Streckenzug P₁P₂P₃P₄P₅P₆P₇ endet immer an seinem Ausgangspunkt. Man erhält also immer einen geschlossenen Streckenzug P₁P₂P₃P₄P₅P₆P₁

Der Satz von Thomsen ist mit der affinen Form des dualen kleinen Satzes von Pappos identisch und spielt als Thomsen-Figur bei der Koordinatisierung axiomatisch definierter projektiver Ebenen eine Rolle.

Weblinks

• Darij Grinberg: Schließungssätze in der ebenen Geometrie (PDF; 210 kB)
• Eric W. Weisstein: Thomsen’s Figure. In: MathWorld (englisch).