Satz von Weyl über Gleichverteilung

Der Satz von Weyl (nach Hermann Weyl) ist die Grundlage für arithmetische Zufallszahlengeneratoren. Er besagt:

Sei $y_{0}\in \ ]0,1[$ eine irrationale Zahl. Dann hat die Folge

$(u_{i})_{i\geq 1}\subseteq \ ]0,1[$,

gliedweise definiert durch

$u_{i}=iy_{0}-\lfloor iy_{0}\rfloor =iy_{0}\ {\bmod {\ }}1$

die asymptotische Gleichverteilungseigenschaft. Für alle $a,b\in \mathbb {R}$ mit $0<a<b<1$ gilt also:

${\frac {\left|\{i|1\leq i\leq n;a\leq u_{i}\leq b\}\right|}{n}}\quad {\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{\quad }}\quad b-a$.

Anders gesagt: die Wahrscheinlichkeit, dass ein willkürlich gewähltes Folgenglied in $[a,b]$ liegt, beträgt $b-a$.