Satz von der konstanten Sehne

konstante Sehnenlänge: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |P_1Q_1|=|P_2Q_2|}

konstante Durchmesser: $|P_{1}Q_{1}|=|P_{2}Q_{2}|$

Der Satz von der konstanten Sehne ist eine Aussage der Elementargeometrie, die eine Eigenschaft einer bestimmten Sorte von Sehnen zweier sich schneidender Kreise beschreibt.

Die Kreise $k_{1}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_2} schneiden sich in den Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und $Q$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_1} ist ein beliebiger von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} verschiedener Punkt auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_1} . Die Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_1P} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_1Q} schneiden den Kreis $k_{2}$ in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_1} . Der Satz von der konstanten Sehne besagt nun, dass die Länge der Sehne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_1Q_1} des Kreises $k_{2}$ nicht von der Wahl von $Z_{1}$ abhängt, also konstant ist.

Der Satz bleibt auch gültig, wenn $Z_{1}$ mit $P$ oder $Q$ übereinstimmt, insofern man dann die nicht definierte Gerade $Z_{1}P$ oder $Z_{1}Q$ durch die Tangente an $k_{1}$ in $Z_{1}$ ersetzt.

Es gilt auch ein analoger Satz im Dreidimensionalen für den Schnitt zweier Kugeln. Die Kugeln $k_{1}$ und $k_{2}$ besitzen den Schnittkreis $k_{s}$ und $Z_{1}$ ist ein beliebiger Punkt auf der Oberfläche der Kugel $k_{1}$, der nicht auf dem Schnittkreis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_s} liegt. Die Verlängerung des von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_s} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_1} gebildeten Schiefkegels schneidet die Kugel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_2} in einem Kreis, dessen Durchmesser eine konstante Länge besitzt, das heißt die Länge des Durchmessers hängt nicht von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_1} ab.

Nathan Altshiller-Court beschrieb den Satz von der konstanten Sehne 1925 in dem Artikel sur deux cercles secants für die belgische Mathematikzeitschrift Mathesis. Acht Jahre später publizierte er dann die dreidimensionale Variante unter dem Titel On Two Intersecting Spheres im American Mathematical Monthly. Später fand der Satz Eingang in mehrere Textbücher, zum Beispiel in Ross Honsbergers Mathematical Morsels und Roger Nelsens Proof Without Words II findet er sich als Aufgabe und in Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten von Halbeisen, Hungerbühler und Läuchli als Lehrsatz.

Literatur

• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, S. 16 (Auszug)
• Roger B. Nelsen: Proof Without Words II. MAA, 2000, S. 29
• Ross Honsberger: Mathematical Morsels. MAA, 1979, ISBN 978-0883853030, S. 126–127
• Nathan Altshiller-Court: On Two Intersecting Spheres. The American Mathematical Monthly, Band 40, Nr. 5, 1933, S. 265–269 (JSTOR)
• Nathan Altshiller-Court: sur deux cercles secants. Mathesis, Band 39, 1925, S. 453

Weblinks

Commons: Constant chord theorem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Aussage als Aufgabe auf cut-the-knot.org (englisch)