Schlichtes Gebiet

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Veranschaulichung eines Normalgebiets bzgl. x

Ein schlichtes Gebiet, Normalbereich oder Normalgebiet ist ein mathematisches Objekt aus der Analysis. Es handelt sich um ein für die Integralrechnung einfach zu handhabendes Gebiet.

Definition

Als schlichtes Gebiet wird definiert

$G=\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;|\;a<x<b,\;g(x)<y<h(x)\rbrace$

mit ($g,h\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$ stetig) und heißt schlicht über der $x$-Achse oder A) $G$ ist Normalbereich bezüglich $x$. Falls die Grenzen von $y$ fest und die Grenzen von $x$ stetige Funktionen über $G$ sind, dann heißt das schlichte Gebiet schlicht über der $y$-Achse oder B) $G$ ist Normalbereich bezüglich $y$. Gelten für $G$ die Eigenschaften A) und B), so nennt man $G$ einen Normalbereich. Analog gilt das im $\mathbb {R} ^{n}$, indem jeweils jede Koordinate einmal in festen Grenzen betrachtet wird und alle anderen Koordinatengrenzen als Graph stetiger Funktionen.

Erläuterung

Es handelt sich um eine Teilmenge der reellen Zahlenebene. Um sie zu bestimmen, benötigt man zwei reelle Zahlen $a,b$ und zwei stetige Funktionen $g,h$, die von dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ nach $\mathbb {R} ^{1}$ abbilden.

Dann ist das schlichte Gebiet definiert als diejenigen Zahlenpaare $(x,y)$, für die gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a < x < b} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(x) < y < h(x).}

Fläche

Für gewöhnlich ist eine der ersten Anwendungen der Integralrechnung in der Schule die Berechnung der Fläche eines schlichten Gebietes. Die Fläche des Gebietes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G=\lbrace(x,y) \in \mathbb{R}^2\; | \; a <x< b,\; g(x) <y < h(x)\rbrace} errechnet sich durch folgendes Integral:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_a^b (h(x)-g(x)) dx } .

Kompliziertere Gebiete setzt man anschließend oft aus schlichten Gebieten zusammen.

Literatur

• Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1992, ISBN 3-519-12232-4