Gentzenscher Hauptsatz

Der Gentzensche Hauptsatz oder Schnittsatz ist ein Satz der mathematischen Logik, der besagt, dass die Schnittregel in Gentzentypkalkülen zulässig ist. Er ist nach Gerhard Gentzen benannt, der ihn 1934 aufstellte und bewies.

Die Schnittregel

Die Schnittregel ist der modus ponens auf metalogischer Stufe:

Angenommen, die Sequenzen $\Gamma \vdash A$ und $A,\Delta \vdash B$ sind herleitbar. Die Schnittregel besagt, dass man dann zu der Sequenz $\Gamma ,\Delta \vdash B$ übergehen kann, d. h. die Formel $B$ ist dann auch ohne $A$ herleitbar.

Die griechischen Buchstaben $\Gamma$ und $\Delta$ stehen dabei für Listen von Formeln, die bereits hergeleitet wurden. Für die Herleitbarkeit wird hier das Zeichen $\vdash$ benutzt.

Beweisskizze

Beweise für diesen Hauptsatz liegen inzwischen in einfacher Form vor. Die Grundidee ist, Herleitungen, in denen die Schnittregel verwendet wird, so aufzulösen (englisch: cut elimination), dass sie nicht mehr verwendet wird.

Dazu führt man eine vollständige Induktion über die Anzahl der Teilformeln in der Schnittformel $A$ durch (Teilformelinduktion).

Induktionsanfang ($n=1$): Wenn $A$ nur eine Teilformel besitzt, also nicht zusammengesetzt ist, muss $A$ eine Prim- bzw. Atomformel $a$ sein:

${\frac {\Gamma \vdash a\qquad a,\Delta \vdash \ B}{\Gamma ,\Delta \vdash \ B}}$ .

Im einfachsten Fall wird $a$ in der Herleitung $a,\Delta \vdash B$ nicht verwendet. Dann ist diese Herleitung auch ohne $a$ gültig, d. h. $\Delta \vdash B$. Das bedeutet aber, dass $B$ ohne die Schnittregel hergeleitet werden kann.

Wenn hingegen $a$ in der Herleitung $a,\Delta \vdash B$ vorkommt, so kann man darin $a$ durch die Herleitung $\Gamma \vdash a$ ersetzen. Auch in diesem Fall gibt es also eine Möglichkeit, $B$ ohne die Schnittregel herzuleiten.

Induktionsschritt ($n$ zu $n+1$): Die Induktionsannahme besagt, dass die Schnittregel für die Formeln $A$ gültig ist, die n Teilformeln haben:

${\frac {\Gamma \vdash A_{n}\qquad A_{n},\Delta \vdash \ B}{\Gamma ,\Delta \vdash \ B}}$ .

Nun wird eine Fallunterscheidung in Bezug auf das in:

${\frac {\Gamma \vdash A_{n+1}\qquad A_{n+1},\Delta \vdash \ B}{\Gamma ,\Delta \vdash \ B}}$

neu hinzukommende Logikzeichen durchgeführt, die Schnittregel wird also jeweils durch die Kalkülregeln für dieses Zeichen ersetzt.

Bei den Junktoren ist dieser Beweisteil trotz der vielen Fallunterscheidungen relativ einfach. Bei den Quantoren wird im dialogischen Beweis über die Anzahl der Entwicklungsschritte induziert.

Die (langen) nicht-dialogischen Beweise benutzen zur technischen Vereinfachung der Beweisführung zusätzlich die aus der Schnittregel beweisbare sogenannte Mischregel (Mix):

${\frac {\Gamma \vdash M\qquad \Delta \vdash \ B}{\Gamma ,(\Delta -M)\vdash B}}$ .

$M$ heißt Mischformel und $\Delta -M$ bezeichnet die Formelfolge, die entsteht, wenn man in $\Delta$ jedes vorkommende $M$ streicht.

Widerspruchsfreiheit

Die Kalküle, für die der Hauptsatz gilt, sind widerspruchsfrei.

Ein Gedankengang für den Beweis der Widerspruchsfreiheit ist folgender: Sei $\bot$ (lies: falsch oder falsum) per definitionem nicht herleitbar. Dann ist $A\vdash \bot$ nichts anderes als die Herleitbarkeit von $\neg A.$ Die Negation ist dieser Spezialfall der Subjunktion.

Setzt man nun für $B$ in die Schnittregel $\bot$ ein:

${\frac {\Gamma \vdash A\qquad \Gamma ,A\vdash \ \bot }{\Gamma \vdash \ \bot }}$

so folgt aus der Herleitbarkeit von $A$ und der (gerade erwähnten) von $\neg$$A$ (beides zusammen ist ein Widerspruch in den Prämissen) die Herleitbarkeit vom unherleitbaren $\bot$, was nicht sein kann. $\Gamma \vdash \ \bot$ wäre – wegen der Eliminierbarkeit der Schnittregel – auch selbst eine gültige Sequenz im Kalkül, was per definitionem von $\bot$ nicht möglich ist. Typisch für diese Widerspruchsfreiheitsbeweise ist, dass in einer Herleitung nur Teilformeln derjenigen Formeln auftreten, die in der hergeleiteten Endsequenz (also unter dem Schlussstrich) vorkommen.

Widerspruchsfreiheitsbeweise der Mathematik werden durchgeführt, indem man, wie Gerhard Gentzen, die transfinite Induktion oder, wie Kurt Schütte und Paul Lorenzen, die sogenannte $\omega$-Regel in die Beweise des Hauptsatzes einbindet (vollständiger Halbformalismus).

Bedeutung und Anwendungen

Die Entfernung von Schnitten ist nicht nur eine Möglichkeit, die Gültigkeit der Schnittregel zu beweisen, sondern umgedreht ein sehr nützliches mathematisch-logisches Werkzeug, beispielsweise beim Beweis des Interpolation-Theorems von Craig und Schütte. Die Möglichkeit, Beweise durchzuführen, die auf Resolution beruhen, ist sehr mächtig (Maschinengestütztes Beweisen). Die Ausführung eines Prolog-Programms (d. h. das, was passiert, während das Prolog-Programm abläuft) lässt sich als schnittfreie Kalkül-Herleitung interpretieren.

Führt man allerdings in Gentzentypkalkülen Beweise durch, die den Schnitt vermeiden (analytic proofs), so sind diese in der Regel länger als bei Verwendung der Schnittregel. In seinem Artikel "Don't Eliminate Cut!" zeigte der Mathematiker und Logiker George Boolos, dass es eine Formel gibt, die sich unter Zuhilfenahme des Schnitts in etwa einer Seite herleiten lässt, während es länger als die gesamte Lebenszeit des Universums dauern würde, eine Herleitung aufzuschreiben, die ohne Schnitt auskommt.

Durch die Anwendung der Schnittregel lassen sich modallogische Aussagen rechtfertigen, wenn die entsprechenden logischen Aussagen wahr sind. Das in der Modallogik immer zu unterstellende Wissen kann in dem Fall weggeschnitten werden. Der Gentzensche Hauptsatz dient also auch zur Fundierung der Modallogik, weil man so modallogische Wahrheit definieren kann.

Der sogenannte verschärfte Hauptsatz ist dem Satz von Herbrand ähnlich. Dabei geht es um die Rolle der Quantoren in einem Beweis.

Literatur

• Gerhard Gentzen: Untersuchungen über das logische Schließen. Mathematische Zeitschrift 39 (1934). Nachdruck in: Karel Berka, Lothar Kreiser: Logik-Texte, Berlin (Ost) 1986. Teil 1 und Teil 2
• Stephen Cole Kleene: Introduction to Metamathematics, Amsterdam Groningen 1952
• Paul Lorenzen: Metamathematik, Mannheim 1962
• Gerhard Gentzen (hrsg.M. E. Szabo): The Collected Papers of Gerhard Gentzen, Amsterdam 1969
• Kuno Lorenz, P. Lorenzen: Dialogische Logik, Darmstadt 1978 - (Enthält zum ersten Mal einen Beweis auf dialogisch-spieltheoretischer Basis.)
• Paul Lorenzen: Lehrbuch der konstruktiven Wissenschaftstheorie, Zürich 1987, Stuttgart 2000, ISBN 3-476-01784-2
• Kurt Schütte: Beweistheorie, Berlin Göttingen Heidelberg 1960
• A. S. Troelstra, H. Schwichtenberg. Basic Proof Theory (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science). Cambridge University Press. ISBN 0521779111
• Gerrit Haas: Konstruktive Einführung in die formale Logik 1984 ISBN 3411016280
• George Boolos: Don't eliminate cut in: Journal of Philosophical Logic 13 (1984), S. 373–378.
• Lutz Heindorf: Elementare Beweistheorie, 1994 ISBN 3411171618
• Eckart Menzler-Trott: Gentzens Problem. Mathematische Logik im nationalsozialistischen Deutschland. Birkhäuser Verlag, Basel 2001, ISBN 3764365749
• Peter Schroeder-Heister: Cut-elimination in logics with definitional reflection (PDF; 1,3 MB). Nonclassical Logics and Information Processing, S. 146–171, 1990. In D. Pearce, H. Wansing (Herausgeber): Nonclassical Logics and Information Processing. International Workshop, Berlin, November 9–10 1990, Proceedings. Springer Lecture Notes in Artificial Intelligence 619, Berlin/Heidelberg/New York 1992, ISBN 3-540-55745-8.
• Jean-Yves Girard: Proofs and Types Cambridge University Press 1989; reprint web 2003 (PDF; 925 kB)
• Sakharov, Alex. Cut Elimination Theorem. From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.
• Rüdiger Inhetveen: Logik. Eine dialog-orientierte Einführung, Leipzig 2003 ISBN 3-937219-02-1
• William W. Tait, Gödels reformulation of Gentzen's first consistency proof for arithmetic (PDF; 236 kB). Englischer Artikel in: The Bulletin of Symbolic Logic 11(2): S. 225–238, 2005