Schwarzschild-Tangherlini-Metrik

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In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die höherdimensionale Verallgemeinerung der Schwarzschild-Metrik als Schwarzschild-Tangherlini-Metrik (nach Karl Schwarzschild, Frank R. Tangherlini) bezeichnet. Die allgemeine Form des Linienelements (in Weinbergs Vorzeichenkonvention) ist

wobei gesetzt wurde und die Anzahl der Dimensionen der Raumzeit bezeichnet. In der "gewöhnlichen" Raumzeit wäre also . Mit wird die Standardmetrik auf der -dimensionalen Einheitssphäre bezeichnet, die induktiv definiert ist durch

wobei die Koordinate Werte zwischen und annimmt, während die Koordinaten Werte zwischen und annehmen. Für ergibt sich beispielsweise

Für ergibt sich das interessante Ergebnis, dass in dieser Metrik keine stabilen, gebundenen Bahnen massiver Teilchen existieren, die für durchaus existieren. Dies sieht man ein, indem man die Bewegung in der Äquatorialebene betrachtet und die Koordinate einführt. Aus der Lagrange-Dichte ergibt sich durch Einführung der Erhaltungsgrößen ("Energie") und ("Drehimpuls") die Gleichung

wobei die letzten drei Terme auf der linken Seite ein effektives Potential darstellen. Skizziert man den Verlauf über , so erkennt man sofort, dass für maximal ein bzw. genau ein () Extremalpunkt existiert. Somit ist jede Teilchenbahn entweder unbeschränkt oder führt in die Singularität bei .

Literatur

  • Tangherlini, F.R., "Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem", Nuovo Cim.27: 636-651 (1963)