Sekante
Das Wort Sekante (lateinisch: secare = „schneiden“) bezeichnet in der ebenen Geometrie und in der Analysis eine Gerade, die durch zwei Punkte einer Kurve geht.
Kreissekante
In der Elementargeometrie versteht man unter einer Sekante eine Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet. Eine Gerade, die genau einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam hat, heißt Tangente; eine Gerade, die keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat, heißt Passante. Eine Sekante, die durch den Mittelpunkt des Kreises geht, wird als Zentrale bezeichnet.
Eine Gerade ist genau dann Sekante eines gegebenen Kreises, wenn der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden kleiner ist als der Radius des Kreises. Ist der Abstand gleich dem Radius, so handelt es sich um eine Tangente; ist er größer als der Radius, so handelt es sich um eine Passante.
Der Abschnitt der Sekante, der innerhalb des Kreises liegt, heißt Sehne. Die längsten Sehnen eines Kreises sind diejenigen, die durch den Kreismittelpunkt gehen. Diese und auch ihre Längen werden als Durchmesser des Kreises bezeichnet.
Der Sekantensatz beschreibt die Beziehung der Abschnittslängen zweier Kreissekanten, die sich außerhalb des Kreises schneiden, der Sekanten-Tangenten-Satz die Beziehung zwischen sich schneidender Tangente und Sekante.
Kurvensekante
Allgemeiner nennt man auch eine Gerade, die durch (mindestens) zwei Punkte einer Kurve, beispielsweise eines Funktionsgraphen, verläuft, eine Sekante. Ihre Steigung heißt Sekantensteigung. Die Steigung der Sekante durch zwei Punkte und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1|f(x_1))} des Graphen der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist gegeben durch
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_{\text{S}} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}} .
Dies ist gerade der Differenzenquotient der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} im Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [x_0, x_1]} . Er spielt eine wichtige Rolle in der Differentialrechnung bei der Definition der Ableitung: Hält man die Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} fest und lässt die Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} „wandern“, so nähert sich bei einer differenzierbaren Funktion die Sekante durch die Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_0|f(x_0))} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1|f(x_1))} der Tangente an den Funktionsgraph im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_0|f(x_0))} . Die Sekantensteigung konvergiert dabei gegen die Steigung der Tangente, das ist die Ableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f'(x_0)} der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} .
Das Sekantenverfahren ist ein numerisches Näherungsverfahren zur Bestimmung einer Nullstelle mithilfe von Kurvensekanten.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Sekante. In: MathWorld (englisch).
- Von der Sekante zur Tangente (Animation, bei der mit Schiebereglern eine Kurvensekante zur Tangente verändert werden kann)
