Selbstmeidender Pfad

Dieser Pfad kehrt nie zu einem bereits besuchten Punkt zurück.

In der mathematischen Theorie der Irrfahrten sind selbstmeidende Pfade Wege auf einem Gitter, die nie zu einem bereits zuvor besuchten Punkt zurückkehren.

Selbstmeidende Pfade sind das einfachste mathematische Modell für die Anordnung langer Polymerketten.

Die Berechnung selbstmeidender Pfade ist ein zentrales Thema der Perkolationstheorie. Es gibt zahlreiche durch empirische Untersuchungen und Heuristiken gestützte Vermutungen über das Verhalten selbstmeidender Pfade. Mathematisch bewiesen ist von diesen Vermutungen aber nur wenig, gerade auch in den für Anwendungen interessanten niedrigen Dimensionen $2\leq d\leq 4$.

Definition

Quadratgitter $\mathbb {Z} ^{2}$

Hexagonalgitter

Es sei $\Lambda \subset \mathbb {R} ^{d}$ ein Gitter im $d$-dimensionalen Raum, zum Beispiel $\mathbb {Z} ^{d}\subset \mathbb {R} ^{d}$ oder das Hexagonalgitter in der Ebene.

Ein selbstmeidender Pfad im Gitter $\Lambda$ ist ein Pfad (Weg), der jeden Gitterpunkt höchstens einmal besucht.

Anzahl selbstmeidender Pfade

Zu einem gegebenen Gitter $\Lambda$ sei $c_{n}$ die Anzahl selbstmeidender Pfade der Länge $n$. Die Folge $c_{n}$ ist subadditiv und demzufolge existiert der Grenzwert

$\mu =\lim _{n\to \infty }c_{n}^{\frac {1}{n}}$.

Er wird als die Zusammenhangskonstante (englisch: connective constant) des Gitters bezeichnet.

Das einzige Gitter, für das die Zusammenhangskonstante explizit bekannt ist, ist das Hexagonalgitter. Für dieses haben Duminil-Copin und Smirnow bewiesen, dass

$\mu =2\cos \left({\frac {\pi }{8}}\right)={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$

ist.

Für das Gitter $\mathbb {Z} ^{d}\subset \mathbb {R} ^{d}$ gilt die Ungleichung

$d\leq \mu \leq 2d-1$.

Für $d=2$, also für das Quadratgitter $\mathbb {Z} ^{2}$, kann man numerisch $\mu =2{,}63815853\ldots$ berechnen.

Numerische Experimente stützen die Vermutung, dass für alle Gitter asymptotisch $c_{n}\sim n^{\frac {11}{32}}\mu ^{n}$ gilt, was bedeuten würde, dass im Gegensatz zum exponentiellen Faktor $\mu ^{n}$ der subexponentielle Faktor $n^{\frac {11}{32}}$ für alle Gitter derselbe wäre.

Literatur

• N. Madras, G. Slade: The Self-Avoiding Walk. Birkhäuser, 1996, ISBN 0-8176-3891-1.
• G. F. Lawler: Intersections of Random Walks. Birkhäuser, 1991, ISBN 0-8176-3892-X.
• N. Madras, A. D. Sokal: The pivot algorithm – A highly efficient Monte-Carlo method for the self-avoiding walk. In: Journal of Statistical Physics. Band 50, 1988, S. 109–186. doi:10.1007/bf01022990.
• M. E. Fisher: Shape of a self-avoiding walk or polymer chain. In: Journal of Chemical Physics. Band 44, Nr. 2, 1966, S. 616. bibcode:1966JChPh..44..616F. doi:10.1063/1.1726734.

Weblinks

• Self Avoiding Walk (MathWorld)
• Gordon Slade, Self avoiding walk. A brief survey (PDF; 470 kB)