Perkolationstheorie

Die Perkolationstheorie (lat. percolare – durchsickern) ist ein Teilgebiet der Stochastik und der statistischen Physik und beschreibt das Ausbilden zusammenhängender Gebiete (Cluster) bei zufallsbedingtem Besetzen von Strukturen (Gittern).

Die Perkolationstheorie eignet sich zur Modellierung von physikalischer Phänomenen, die bei Phasenübergängen entstehen. Des Weiteren eignet sie sich zur Beschreibung der elektrischen Leitfähigkeit von Legierungen, der Ausbreitung von Epidemien und Waldbränden, sowie zur Beschreibung von Wachstumsmodelle. In der Geologie und Hydrologie beschreibt die Perkolation einfache Modelle zur Ausbreitung von Flüssigkeiten in porösem Gestein (siehe Perkolation (Technik)), die als anschauliche Beispiele der unten beschriebenen Clusterbildung dienen.

Unterarten sind die Punktperkolation, bei der Gitterpunkte mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit besetzt werden, und die Kantenperkolation, bei der besetzte Punkte untereinander verbunden werden. Man kann sich beliebige zufällig erzeugte Objekte, z. B. Tröpfchen, vorstellen, die untersucht werden.

Definition

Eine Perkolation ist ein zufälliger Teilgraph eines Graphens Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{G}=(\mathbb{V},\mathbb{E})} , genannt Referenzgraph, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}} eine abzählbare Menge von Knoten bezeichnet und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}} die abzählbare Menge der Kanten. Man unterscheidet zwischen einer Verbindungs-Perkolation (englisch bond percolation) und einer Orts-Perkolation (englisch site percolation).

Die Verbindungs-Perkolation entsteht durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega:\mathbb{E}\to \{0,1\}} , die jeder Kante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e\in\mathbb{E}} entweder den Zustand

offen (auch besetzt genannt) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega(e)=1} oder
geschlossen (auch leer genannt) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega(e)=0}

zuweist. Die Verbindungs-Perkolation wird daher auch als Kanten-Perkolation bezeichnet.

Die Orts-Perkolation entsteht durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega:\mathbb{V}\to \{0,1\}} , die jedem Knoten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v\in\mathbb{V}} entweder den Zustand

offen / besetzt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega(v)=1} oder
geschlossen / leer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega(v)=0}

zuweist. Die Orts-Perkolation wird daher auch als Knoten-Perkolation bezeichnet.^[1]

Die Perkolations-Konfiguration ist

\omega =(\omega (e))_{e\in \mathbb {E} }\in \{0,1\}^{\mathbb {E} }.

Der resultierende Zufallsgraph bildet eine Sammlung von Cluster.

Bernoulli-Perkolation

Das einfachste Modell ist die Bernoulli-Perkolation von Broadbent und Hammersley (1957^[2]). Die Wahrscheinlichkeitsfunktion folgt dabei einer Bernoulli-Verteilung, das heißt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e} (respektive Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} ) gilt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega(e)=1} tritt mit Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega(e)=0} mit Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1-p} ein.

Als Referenzgraph wählt man dabei ein Gitter wie zum Beispiel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{G}=(\mathbb{Z}^d,E)} wobei $E=\{\{x,y\}\in \mathbb {Z} ^{d}:\|x-y\|=1\}$ .^[1]

Wir notieren mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \to n } einen zusammenhängenden Pfad der Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} der im Ursprung startet. Dann notiert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta_n(p)} die Wahrscheinlichkeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta_n(p):=\mathbb{P}_p(0 \to n )}

Die unendliche Verbindung wird oft als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta(p):=\theta_{\infty}(p)} notiert.^[1]

Kritische Wahrscheinlichkeit

Für Bernoulli-Perkolationen auf transitiven unendlichen Graphen existiert eine kritische Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{c}(\mathbb{G})\in[0,1]} , so dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein unendlicher zusammenhängender Teilgraph existiert, $1$ ist, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p>p_{c}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p<p_{c}} .^[1]

Die Region Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{p:0\leq p<p_{c}\}} bezeichnet man als subkritische Region und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{p:p_{c}<p\leq 1\}} als superkritische Region.

Erläuterungen

Es werden auch Kombinationen von beiden Arten der Perkolation untersucht. Seit 1957 spielen Computersimulationen eine entscheidende Rolle in der Perkolationstheorie. Obwohl viele interessante Größen heute genau bekannt sind, lieferten Simulationen in vielen Fällen die notwendige Intuition, um sie zu bestimmen, und die meisten interessanten Größen sind immer noch nur durch Simulationen insgesamt zugänglich. Perkolationsmodelle können in einer Vielzahl verschiedener Systeme verwendet werden.^[3]

Geschichte

Historisch geht die Perkolationstheorie (englisch percolation theory) auf Paul Flory und Walter H. Stockmayer zurück, welche die Flory-Stockmayer-Theorie in den 1940er Jahren entwickelten, um Polymerisationsprozesse bei der Gelierung zu beschreiben. Der Polymerisationsprozess kommt durch das Aneinanderreihen von Molekülen zustande, die dadurch Makromoleküle bilden. Der Verbund solcher Makromoleküle führt zu einem Netzwerk von Verbindungen, die sich durch das ganze System ziehen können. Broadbent und Hammersley führten das moderne Konzept der Perkolation ein^[4]. Ein anderes Modell zur Beschreibung von Zufallsgraphen ist das Erdős–Rényi-Modell.

Modellbildung

Perkolationen werden auf Gittern modelliert, wobei Kristallgitter Interpretationen mathematischer Gitter sind.

Knotenperkolation (site percolation)

Datei:Percolation1.jpg

Knoten- und Kanten-Perkolation

Allgemein lässt sich ein einfaches Modell für die „Knoten-“ oder „Platzperkolation“ konstruieren:

Die Felder eines zweidimensionalen Quadratgitters werden mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit besetzt. Ob ein Feld besetzt wird oder leer bleibt, ist unabhängig von der Besetzung aller anderen Felder. Des Weiteren wird das Gitter als so groß angenommen, dass Randeffekte vernachlässigt werden können und ist im Idealfall unendlich groß. Abhängig von der gegebenen Verteilung werden sich Gruppen auf dem Gitter bilden, d. h. besetzte Felder in unmittelbarer Nachbarschaft. Diese Gruppen – als Cluster bezeichnet – werden umso größer sein, je größer die Wahrscheinlichkeit zur Besetzung eines Feldes ist. Die Perkolationstheorie beschäftigt sich nun mit Eigenschaften wie Größe oder Anzahl dieser Cluster.

Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Feld besetzt ist, so bilden sich mit dem Ansteigen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} größere Cluster aus. Die Perkolationsschwelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{c}} ist definiert als der Wert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} , bei dem mindestens ein Cluster eine Größe erreicht, dass er sich durch das gesamte System erstreckt, also eine Ausdehnung auf dem Gitter von der rechten zur linken und von der oberen zur unteren Seite hat. Man sagt: „Der Cluster perkoliert durch das System“.

Kantenperkolation (bond percolation)

Das Gegenstück dazu wird „Kantenperkolation“ (englisch bond percolation) genannt.

Datei:Bond percolation p 51.png

Kantenperkolation in zwei Dimensionen mit Kanten-Besetzungswahrscheinlichkeit p = 0,51 auf einem 50×50-Ausschnitt. Es gibt einen Pfad geschlossener Kanten, der die untere mit der oberen Bildkante verbindet.

Datei:Transition de percolation 2.gif

Kantenperkolation in einem Quadratgitter mit p = 0,3 bis p = 0,52

Ein Gitter, z. B. oben genanntes Quadratgitter, ist vollständig besetzt, und von jedem Feld des Gitters bestehen vier Verbindungen zu den jeweils vier Nachbarfeldern. Nun ist mit einer Wahrscheinlichkeit $p$ eine Verbindung zu einem Nachbarfeld geöffnet und mit einer Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 - p} die Verbindung geschlossen. Diese Art der Perkolation lässt sich gut mit dem oben genannten Modell in der Geologie vergleichen: die Hohlräume in einem porösen Gestein sind mit Wasser gefüllt und durch ein Netzwerk von Kanälen verbunden; mit einer Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} besteht ein Kanal zwischen zwei nächsten Nachbarn, und mit einer Wahrscheinlichkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1-p} besteht keiner.

Ein Cluster ist dann definiert als Gruppe von Gitterplätzen, die durch offene Kanäle verbunden sind. Auch hier ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{c}} wieder die Perkolationsschwelle, und für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p>p_{c}} gibt es einen Cluster, der durch das gesamte System perkoliert, während ein solcher Cluster bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p<p_{c}} nicht existiert. Die Perkolationsschwelle ist bei der Kantenperkolation niedriger als bei Systemen, welche sich entsprechend der Knotenperkolation verhalten. Das gilt für alle Gittertypen.

Gittertyp^[5]^[6]	Knotenperkolationsschwelle	Kantenperkolationsschwelle
Sechseckgitter	0,6962	0,6527… = 1 − 2 sin (π/18)^[7]
Quadratgitter	0,592746	0,5
Dreiecksgitter	0,5	0,34729… = 2 sin (π/18)^[7]
Diamantgitter	0,43	0,388
einfach kubisches Gitter	0,3116	0,2488
BCC 1.	0,246	0,1803
FCC	0,198	0,119
Hyperkubisches Gitter (4d)	0,197	0,1601
Hyperkubisches Gitter (5d)	0,141	0,1182
Hyperkubisches Gitter (6d)	0,107	0,0942
Hyperkubisches Gitter (7d)	0,089	0,0787

Ein Cluster der Größe $s$ entsteht, wenn benachbarte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} Plätze nebeneinander besetzt sind, die von zwei leeren Plätzen begrenzt werden. Wenn die Größe des Clusters gegen unendlich geht, können die Effekte der Ränder ignoriert werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Platz auf der linken Seite des Clusters besetzt ist, ist dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_s(p) = (1 - p)^2 \cdot p^s} .

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p<p_{c}} ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Platz zu einem endlichen Cluster gehört, gleich der Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} , dass der Platz besetzt ist. Weil die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebiger Platz zu einem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} -Cluster gehört, gegeben ist durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s \cdot n_s(p)} , erhält man für $p<p_{c}$ mithilfe der geometrische Reihe

\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)=\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot (1-p)^{2}\cdot p^{s}=(1-p)^{2}\cdot \sum _{s=1}^{\infty }p\cdot {\frac {d(p^{s})}{dp}}=(1-p)^{2}\cdot p\cdot {\frac {d}{dp}}\cdot \left(\sum _{s=1}^{\infty }p^{s}\right)=(1-p)^{2}\cdot p\cdot {\frac {d}{dp}}\cdot \left({\frac {p}{1-p}}\right)=p

,

also $\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)=p$ . Für die mittlere Größe $S(p)$ des Clusters ergibt sich $S(p)={\frac {1+p}{1-p}}$ .

Die Stärke $P(p)$ des unendlichen Clusters ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Platz zum Cluster gehört. Die Stärke misst, wie groß der Anteil der Plätze des unendlichen Gitters ist, die zum unendlichen Cluster gehören, und wird Ordnungsparameter (englisch order parameter) genannt. Das Phänomen, dass der Ordnungsparameter für $p>p_{c}$ größer als 0 wird, ist als Phasenübergang bekannt und $p=p_{c}$ wird als kritische Besetzungswahrscheinlichkeit (englisch critical occupation probability) bezeichnet.

Ein besetzter Platz gehört entweder zum unendlichen Cluster oder zu einem endlichen Cluster. Daher gilt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(p)+\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)=p}

für alle $p$ . Daraus folgt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P(p)=p-\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)=p_{c}-\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)+(p-p_{c})=\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p_{c})-\sum _{s=1}^{\infty }s\cdot n_{s}(p)+O(p-p_{c})}

Der Term Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle O(p-p_{c})} ist höchstens von der Größenordnung $p-p_{c}$ (siehe Landau-Symbole). Die Summe läuft über alle endlichen Clustergrößen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} und schließt das unendliche Cluster aus. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p<p_{c}} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(p)=0} .^[8]

Gerichtete Perkolation

Die gerichtete Perkolation (englisch directed percolation) lässt sich anschaulich mit einer Kaffeemaschine (englisch coffee percolator) oder porösem Gestein erklären.

Anhand der bond-Perkolation wird der Unterschied zwischen „normaler“ bzw. isotroper Perkolation und der gerichteten Perkolation klar.

Datei:Gerichtete Perkolation.svg

Gerichtete Perkolation

Wenn Wasser auf ein poröses Medium gegossen wird, stellt sich die Frage, ob das Medium durchdrungen werden kann, d. h. ob es einen Kanal von der Oberseite zur Unterseite des Mediums gibt, oder ob das Wasser vom Medium absorbiert wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Wasser auf einen offenen Kanal trifft, ist wie bei einer isotropen Perkolation gegeben durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} . Im Gegensatz zur isotropen Perkolation existiert jedoch eine gegebene Vorzugsrichtung: Wasser in porösem Gestein wie auch in der Kaffeemaschine bewegt sich in die Richtung, die durch die Gravitation bestimmt wird. Die Perkolationsschwelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{c}} ist bei der gerichteten Perkolation größer als bei der isotropen Perkolation.

Mikrokanonisches und kanonisches Ensemble

Um Finite-Size-Effekte und den Phasenübergang zu studieren, müssen die betreffenden Observables für einen großen Bereich der Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} bestimmt werden, wenn nicht für eine kontinuierliche Nachbarschaft der Mindestwahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_c} des gesamten Einheitsintervalls. Diese Aufgabe kann erheblich vereinfacht werden, indem man vom kanonischen bis zum mikrokanonischen Ensemble wechselt.

Wenn jede der $N$ Kanten des Gitters mit Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} besetzt ist und mit Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 - p} leer ist, spricht man auch von einem kanonischen Emsenble. Wenn genau $n$ Kanten des Gitters besetzt sind, spricht man auch von einem mikrokanonischen Ensemble. Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(p)} ein Observable im kanonischen Ensemble ist, dann wird das entsprechende Observable im mikrokanonischen Ensemble mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_n} bezeichnet. Das gewünschte Observable kann durch eine Faltung mit der Binomialverteilung erhalten werden. Diese kann wie folgt geschrieben werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(p) = \sum_{k=0}^N \binom{N}{n} \cdot p^n \cdot (1 - p)^{N - n} \cdot Q_n}

Unter Verwendung des mikrokanonischen Ensembles ist es somit möglich, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(p)} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} auf einmal zu bestimmen und dies, indem nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N + 1} Werte gemessen werden.^[3]

Anwendung in der Epidemiologie

Für die Anwendung in der Epidemiologie kann man sich für den Erreger empfängliche Individuen als Knoten und Kontakt zwischen den Individuen als Kanten vorstellen. Ab einer bestimmten Populationsdichte, wenn es genügend Kontakte zwischen den Individuen gibt, würde die Perkolationsschwelle überschritten, sich also große, zusammenhängende Cluster bilden, die zu einer Ausbreitung des Erregers auf größere Bereiche der Population führen. Empirisch wurde die Existenz einer solchen Perkolationsschwelle anhand der Großen Rennmaus gezeigt, deren Kolonien unterschiedliche Populationsdichten aufweisen.^[9]

Anwendungen im Alltag

Im täglichen Leben kommen viele perkolationsartige Phasenübergänge vor, z. B. das „Puddingproblem“ (Gel-Bildung^[10]), das „Sahnesteif-Problem“ und das Problem der „Verklumpung“. In allen Fällen geht die Wirkung erst bei Überschreiten eines kritischen Wertes des ursächlichen Parameters gegen das erwünschte oder unerwünschte Maximum, und zwar meist nach einem Potenzgesetz mit einem kritischen Exponenten, wobei die maximale Wirkung bei Überschreiten des kritischen Wertes zunächst sehr rasch ansteigt. Durch chemische Zusätze, etwa Pudding- oder „Sahnesteif“-Pulver, kann man den kritischen Wert herabsetzen, ohne allerdings das Prinzip zu ändern.

Siehe auch

Literatur

P. J. Flory: Thermodynamics of High Polymer Solutions. In: Journal of Chemical Physics. 9, Nr. 8, August 1941, S. 660.
P. J. Flory: Thermodynamics of high polymer solutions. In: J. Chem. Phys. 10, 1942, S. 51–61.
W. H. Stockmayer: Theory of molecular size distribution and gel formation in branched polymers. In: J. Chem. Phys. 11, 1943, S. 45–55.
D. Stauffer, A. Aharony: Introduction to Percolation Theory. Taylor and Fransis, London 1994.
D. Achlioptas u. a.: Explosive Percolation in Random Networks. In: Science. 2009.
A. Bunde, H. E. Roman: Gesetzmäßigkeiten der Unordnung. In: Physik in unserer Zeit. 27, 1996, S. 246–256.
Vincent Beffara, Vladas Sidoravicius: Percolation. In: Encyclopedia of Mathematical Physics. Elsevier, 2006. Arxiv

Einzelnachweise

↑ ^a ^b ^c ^d Hugo Duminil-Copin: Sixty years of percolation. Hrsg.: arXiv. 2017, doi:10.48550/ARXIV.1712.04651, arxiv:1712.04651 [abs].
↑ Simon Broadbent und John Hammersley: Percolation processes I. Crystals and mazes. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 53, Nr. 3, 1957, ISSN 0305-0041, S. 629–641, doi:10.1017/S0305004100032680.
↑ ^a ^b Universität Bonn, Jan Hasenbusch, Matthias Wilhelm, : Project in Computational Physics, Percolation
↑ S. R. Broadbent, J. M. Hammersley: Percolation processes. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 53, Nr. 3, 2008, ISSN 0305-0041, S. 629. bibcode:1957PCPS...53..629B. doi:10.1017/S0305004100032680.
↑ Werte entnommen aus uni-stuttgart.de, Skript (27. April 2005): Simulationsmethoden (Memento des Originals vom 21. September 2004 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2 (PDF; 1,3 MB), S. 41–52.
↑ Humboldt-Universität zu Berlin: Notes on percolation theory
↑ ^a ^b M. F. Sykes, J. W. Essam: Exact critical percolation probabilities for site and bond problems in two dimensions. In: Journal of Mathematical Physics. Band 5, Nr. 8, 1964, S. 1117–1127, doi:10.1063/1.1704215, bibcode:1964JMP.....5.1117S.
↑ Dr. Kim Christensen, Imperial College London: Percolation Theory
↑ S. Davis, P. Trapman, H. Leirs, M. Begon, J. a. P. Heesterbeek: The abundance threshold for plague as a critical percolation phenomenon. In: Nature. Band 454, Nr. 7204, Juli 2008, ISSN 1476-4687, S. 634–637, doi:10.1038/nature07053 (nature.com [abgerufen am 10. September 2020]).
↑ Siehe etwa die Dissertation von Markus Lechtenfeld im Fachbereich Chemie der Universität Duisburg, zum Thema Auswertung der rheologischen und optischen Untersuchungen während der Gelierung des Systems Gelatine/Wasser mit Hilfe der Perkolationstheorie. Duisburg 2001, (online)

[duminil-copin-1] Hugo Duminil-Copin: Sixty years of percolation. Hrsg.: arXiv. 2017, doi:10.48550/ARXIV.1712.04651, arxiv:1712.04651 [abs].

[2] Simon Broadbent und John Hammersley: Percolation processes I. Crystals and mazes. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 53, Nr. 3, 1957, ISSN 0305-0041, S. 629–641, doi:10.1017/S0305004100032680.

[:0-3] Universität Bonn, Jan Hasenbusch, Matthias Wilhelm, : Project in Computational Physics, Percolation

[BroadbentHammersley2008-4] S. R. Broadbent, J. M. Hammersley: Percolation processes. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 53, Nr. 3, 2008, ISSN 0305-0041, S. 629. bibcode:1957PCPS...53..629B. doi:10.1017/S0305004100032680.

[5] Werte entnommen aus uni-stuttgart.de, Skript (27. April 2005): Simulationsmethoden (Memento des Originals vom 21. September 2004 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2 (PDF; 1,3 MB), S. 41–52.

[6] Humboldt-Universität zu Berlin: Notes on percolation theory

[SykesEssam-7] M. F. Sykes, J. W. Essam: Exact critical percolation probabilities for site and bond problems in two dimensions. In: Journal of Mathematical Physics. Band 5, Nr. 8, 1964, S. 1117–1127, doi:10.1063/1.1704215, bibcode:1964JMP.....5.1117S.

[8] Dr. Kim Christensen, Imperial College London: Percolation Theory

[9] S. Davis, P. Trapman, H. Leirs, M. Begon, J. a. P. Heesterbeek: The abundance threshold for plague as a critical percolation phenomenon. In: Nature. Band 454, Nr. 7204, Juli 2008, ISSN 1476-4687, S. 634–637, doi:10.1038/nature07053 (nature.com [abgerufen am 10. September 2020]).

[10] Siehe etwa die Dissertation von Markus Lechtenfeld im Fachbereich Chemie der Universität Duisburg, zum Thema Auswertung der rheologischen und optischen Untersuchungen während der Gelierung des Systems Gelatine/Wasser mit Hilfe der Perkolationstheorie. Duisburg 2001, (online)

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