Semimartingal

Als Semimartingale werden in der Stochastik bestimmte Prozesse bezeichnet, die insbesondere für die Definition eines allgemeinen stochastischen Integrals von Bedeutung sind. Die Klasse der Semimartingale umfasst viele bekannte stochastische Prozesse wie den Wiener-Prozess (Brownsche Bewegung) oder den Poisson-Prozess.

Definition

Gegeben sei ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {P} )$ mit zugehöriger Filtration $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})$.

Wir nehmen an, dass die Filtration

• vollständig ist, das heißt alle $\mathbb {P}$-Nullmengen sind ${\mathcal {F}}_{0}$-messbar.
• $\mathbb {F}$ ist rechtsstetig, das heißt ${\mathcal {F}}_{t}=\bigcap _{\varepsilon >0}{\mathcal {F}}_{t+\varepsilon }$ für alle $0\leq t<\infty$.

Das Semimartingal besitzt durch den Satz von Bichteler-Dellacherie zwei äquivalente Definitionen.

Definition 1

Ein Prozess $H$ heißt einfach-vorhersehbar, falls $H$ von der Form

$H_{t}=H_{0}1_{\{0\}}(t)+\sum \limits _{i=1}^{n}H_{i}1_{(T_{i},T_{i+1}]}(t)$

für eine endliche Folge von Stoppzeiten $0\leq T_{1}\leq \cdots \leq T_{n+1}<\infty$ ist und für alle $0\leq i\leq n$ fast sicher $H_{i}\in {\mathcal {F}}_{T_{i}}$ sowie $|H_{i}|<\infty$.

Der Raum der einfach-vorherbaren Prozesse zusammen mit der durch die gleichmässigen Konvergenz in $(t,\omega )$ induzierten Topologie bezeichnen wir als $\mathbf {S}$.

Für einen Prozess $X$ und für einen einfach-vorhersehbaren Prozess $H$ definieren wir die lineare Abbildung $I_{X}:\mathbf {S} \to L^{0}$ durch

$I_{X}(H)=H_{0}X_{0}+\sum \limits _{i=1}^{n}H_{i}(X_{T_{i+1}}-X_{T_{i}}).$

Ein stochastischer Prozess $X$ heißt Semimartingal, falls für jedes $T\in [0,\infty )$ der gestoppte Prozess $X^{T}:=(X_{t\wedge T})_{t\geq 0}$ càdlàg und adaptiert ist und die Abbildung $I_{X^{T}}$ stetig ist.

Definition 2

Ein Semimartingal ist dann ein stochastischer Prozess $X$ mit Werten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R^d} mit:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist an Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{F}} adaptiert,
• die Pfade/Trajektorien von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} sind càdlàg, also rechtsseitig stetig und die linksseitigen Limites existieren,
• es existiert nach dem Satz von Bichteler-Dellacherie eine (nicht notwendig eindeutige) Darstellung:
  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X = X_0 + M + A\,,\; }
  wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_0} fast sicher endlich und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F_0} -messbar, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} ein lokales Martingal und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} ein FV-Prozess ist, das heißt ein Prozess mit endlicher Variation auf jedem kompakten Interval in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}_+} .

Eigenschaften

Stochastische Integration

Wie bereits in der Einleitung angedeutet, lassen sich mit Hilfe von Semimartingalen allgemeine stochastische Integrale konstruieren. Semimartingale stellen die größte Klasse von Integratoren dar, für die ein Integral der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (H \cdot X)_t := \int_{0}^{t} H_s dX_s }

sinnvoll definiert werden kann. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} stammt in diesem Fall aus der Menge aller lokal beschränkten vorhersagbaren Prozesse.

Stabilität unter Transformationen

Die Klasse der Semimartingale ist unter vielen Operationen stabil. Nicht nur ist jedes gestoppte Semimartingal offensichtlich wieder ein Semimartingal, auch unter Lokalisierung, einem „Wechsel der Zeit“ oder einem Übergang zu einem neuen absolut stetigen Maß bleiben Semimartingale erhalten.

Beispiele

Martingale

Jedes Martingal ist trivialerweise ein Semimartingal, da jedes Martingal selbst ein lokales Martingal ist.

Außerdem ist jedes Submartingal ein Semimartingal sowie jedes Supermartingal, sofern es rechtsstetig mit linksseitig existierenden Grenzwerten ist.

Sprungprozesse

Viele Sprungprozesse wie verallgemeinerte Poisson-Prozesse sind Semimartingale, da sie von beschränkter Variation sind.

Ito-Prozesse

Unter anderem in der Finanzmathematik spielen Ito-Prozesse eine zentrale Rolle. Diese sind darstellbar als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t = X_0 + \int_{0}^{t} b_s\, {\rm d}s +\int_{0}^{t} \sigma_s {\rm d}W_s,}

wobei der letzte Term ein Ito-Integral mit Volatilitätsprozess Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_s} bezeichnet. Dieser Term ist ein lokales Martingal.

Literatur

• Jean Jacod, Albert N. Shiryaev: Limit Theorems for Stochastic Processes. 2. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43932-3. 
• Philip Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. 2. Auflage. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-00313-4.