Pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit oder semi-riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein mathematisches Objekt aus der (pseudo-)riemannschen Geometrie. Sie ist eine Verallgemeinerung der schon früher definierten riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde von Albert Einstein für seine allgemeine Relativitätstheorie eingeführt. Jedoch wurde das Objekt nach Bernhard Riemann, dem Begründer der Riemannschen Geometrie, benannt. Aber auch nach Albert Einstein wurde eine Struktur einer Mannigfaltigkeit benannt. Diese einsteinschen Mannigfaltigkeiten sind ein Spezialfall der pseudo-riemannschen.

Definition

Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_pM} wird im Folgenden der Tangentialraum an einem Punkt $p$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} bezeichnet. Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} zusammen mit einer für jeden Punkt $p\in M$ definierten Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_p\colon T_pM \times T_pM \to \R} . Diese Funktion ist tensoriell, symmetrisch und nicht ausgeartet, das heißt für alle Tangentialvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u,\ v,\ w\in T_pM} und Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a,\ b\in C^\infty(M)} gilt

1. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_p(a_p{u} + b_p{v},w) = a_p\, g_p(u,w) + b_p\, g_p(v,w)} (tensoriell d. h. bilinear),
2. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_p(u,v) = g_p(v,u)} (symmetrisch),
3. falls für $u\in T_{p}M$ gilt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_p(u,v) = 0} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v \in T_pM} , so folgt $u=\mathbf {0}$.

Außerdem ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_p} differenzierbar abhängig von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} . Die Funktion $g$ ist also ein differenzierbares Tensorfeld und heißt pseudo-riemannsche Metrik oder metrischer Tensor.

Signatur

Wie jeder gewöhnlichen Bilinearform kann man auch der pseudo-riemannschen Metrik eine Signatur zuordnen. Diese ist aufgrund des Trägheitssatzes von Sylvester unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems auf der Mannigfaltigkeit und damit auch unabhängig von der Wahl des Punktes $p\in M$. Wie bei der Determinante gibt es zu gegebener „Physik“ zahlreiche äquivalente Ausdrücke. Aber da $g$ nicht ausgeartet ist, ist der dritte Eintrag in der Signatur immer null und die Determinante von $g$ ist immer ungleich null. Vierdimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten mit der Signatur (3,1,0) (beziehungsweise meist (1,3,0)) heißen Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Diese spielen eine wichtige Rolle in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Pseudo-riemannsche Geometrie

Im Unterschied zu pseudo-riemannschen Metriken sind die riemannschen Metriken positiv definit, was eine stärkere Forderung als „nicht ausgeartet“ ist. Einige Resultate aus der riemannschen Geometrie lassen sich auch auf pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten über­tragen. So gilt zum Beispiel der Hauptsatz der riemannschen Geometrie auch für pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten. Es existiert also für jede pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit ein eindeutiger Levi-Civita-Zusammenhang. Jedoch im Gegensatz zur riemannschen Geometrie kann man nicht zu jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit eine Metrik mit vorgegebener Signatur finden. Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen riemannscher und pseudo-riemannscher Geometrie ist das Fehlen eines Äquivalents für den Satz von Hopf-Rinow in der pseudo-riemannschen Geometrie. Im Allgemeinen sind hier metrische Vollständigkeit und geodätische Vollständigkeit nicht miteinander verknüpft. Durch die Signatur der Metrik ergeben sich außerdem Probleme für die Stetigkeit der Abstandsfunktion. So kann die Abstandsfunktion für Lorentzmannigfaltigkeiten die Eigenschaft aufweisen, nicht oberhalbstetig zu sein.

Definitionsvariante

Abweichend von der obigen Definition unterscheidet Serge Lang semi-riemannsche von pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten und verlangt für erstere zusätzlich, dass $g_{p}$ positiv semidefinit sei, das heißt $g_{p}(X,X)\geq 0$ für alle $X\in T_{p}M$.

Lorentzsche Mannigfaltigkeit

→ Hauptartikel: Lorentzsche Mannigfaltigkeit

Eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit ist ein wichtiger Spezialfall einer pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit, bei der die Signatur der Metrik (+1, (-1)(n-1 mal)) oder (äquivalent, (-1 +1(n-1 mal)) ist (siehe Vorzeichenkonvention). Solche Metriken werden Lorentzsche Metriken genannt. Sie sind nach dem niederländischen Physiker Hendrik Lorentz benannt.

Literatur

• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry („Geometria Riemannia“). 2. Aufl. Birkhäuser, Boston 1993, ISBN 0-8176-3490-8.
• Peter Petersen: Riemannian geometry (Graduate Texts in Mathematics; Bd. 171). 2. Aufl. Springer-Verlag, New York 2006, ISBN 0-387-29403-1.
• John K. Beem, Paul E. Ehrlich, Kevin L. Easley: Global Lorentzian Geometry (Pure and Applied Mathematics; Bd. 202). 2. Aufl. Marcel Dekker Books, New York 1996, ISBN 0-8247-9324-2.