Simplizialkomplex

Ein Simplizialkomplex ist ein Begriff der algebraischen Topologie. Bei einem Simplizialkomplex handelt es sich um ein rein kombinatorisch beschreibbares Objekt, mit dessen Hilfe die entscheidenden Eigenschaften von bestimmten, als triangulierbar bezeichneten topologischen Räumen algebraisch charakterisiert werden können. Insbesondere werden Simplizialkomplexe dazu verwendet, für den zugrundeliegenden topologischen Raum Invarianten zu definieren.

Die Idee des Simplizialkomplexes besteht darin, einen topologischen Raum dadurch zu untersuchen, dass – sofern möglich – durch Zusammenfügen von Simplizes eine Menge im d-dimensionalen euklidischen Raum konstruiert wird, die homöomorph ist zum gegebenen topologischen Raum. Die „Anleitung zum Zusammenbau“ der Simplizes, das heißt die Angaben darüber, wie die Simplizes zusammengefügt sind, wird dann in Form einer Sequenz von Gruppenhomomorphismen rein algebraisch charakterisiert.

Definitionen

Abstrakter Simplizialkomplex

Ein dreidimensionaler Simplizialkomplex

Ein abstraktes Simplex $\sigma$ ist eine endliche nichtleere Menge. Ein Element eines abstrakten Simplexes nennt man Ecke von $\sigma$, eine nichtleere Teilmenge von $\sigma$ ist wieder ein abstraktes Simplex und wird Facette (oder Seite) von $\sigma$ genannt.

Ein abstrakter oder auch kombinatorischer Simplizialkomplex ${\mathcal {K}}$ ist eine Menge von Simplizes mit der Eigenschaft, dass jede Facette $\sigma '\subseteq \sigma$ eines Simplexes $\sigma \in {\mathcal {K}}$ wieder zu ${\mathcal {K}}$ gehört, also $\sigma '\in {\mathcal {K}}$. Die Vereinigungsmenge aller Ecken von Simplizes des Simplizialkomplexes ${\mathcal {K}}$ wird Eckenmenge oder Eckpunktbereich genannt und mit $V({\mathcal {K}})$ bezeichnet.

Die Dimension eines abstrakten Simplex, das $k+1$ Ecken enthält, ist definiert als $k$, und die Dimension des Simplizialkomplexes ${\mathcal {K}}$ ist definiert als das Maximum der Dimension aller Simplizes. Falls die Dimension der Simplizes nicht beschränkt ist, dann heißt ${\mathcal {K}}$ unendlichdimensional.

Der Simplizialkomplex ${\mathcal {K}}$ heißt endlich, falls er eine endliche Menge ist, und lokal endlich, falls jede Ecke nur zu endlich vielen Simplizes gehört.

Das $n$-Skelett ${\mathcal {K}}_{n}$ eines Simplizialkomplexes ${\mathcal {K}}$ ist die Menge aller seiner Simplizes der Dimension $\leq n$.

Geometrischer Simplizialkomplex

Ein geometrischer Simplizialkomplex ${\mathcal {S}}$ ist eine Menge von Simplizes in einem euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{d}$ mit der Eigenschaft, dass jede Facette $\sigma '\subseteq \sigma$ eines Simplexes ${\mathcal {S}}$ wieder zu ${\mathcal {S}}$ gehört und dass für alle Simplizes $\sigma ,\tau \in {\mathcal {S}}$ der Durchschnitt $\sigma \cap \tau$ entweder leer oder eine gemeinsame Facette von $\sigma$ und $\tau$ ist. Mit $|{\mathcal {S}}|$ wird die Vereinigung aller Simplizes des geometrischen Komplexes bezeichnet.

Geometrische Realisierung

Ein geometrischer Simplizialkomplex ${\mathcal {S}}$, dessen Ecken einem gegebenen abstrakten Simplizialkomplex ${\mathcal {K}}$ entsprechen, heißt geometrische Realisierung des Simplizialkomplexes ${\mathcal {K}}$. Sie wird mit $\vert {\mathcal {K}}\vert$ bezeichnet. Alle geometrischen Realisierungen eines abstrakten Simplizialkomplexes sind zueinander homöomorph.

Zu einem Punkt $x\in \vert {\mathcal {K}}\vert$ gibt es einen eindeutigen Simplex aus ${\mathcal {K}}$, in dessen Innerem $x$ liegt. Dieser Simplex wird als Trägersimplex von $x$ bezeichnet.

Ein simplizialer Teilkomplex ${\mathcal {S}}'\subseteq S$ ist eine Menge von Simplizes in ${\mathcal {S}}$ derart, dass die Vereinigung der Simplizes in ${\mathcal {S}}'$einen simplizialen Komplex bildet.

Triangulierung

Ein topologischer Raum heißt triangulierbar, wenn er homöomorph zu einem geometrischen Simplizialkomplex ist.

Abschluss, Stern und Link

Sei $M$ eine Menge von Simplizes in einem geometrischen Simplizialkomplex ${\mathcal {S}}$. Man kann nun durch drei Konstruktionen $M$ zu einem Teilkomplex von ${\mathcal {S}}$ machen, wobei der Stern von $M$ beim Beweis des simplizialen Approximationssatz gebraucht wird.

• 

  Zwei Simplizes (gelb) und deren Abschluss (grün).

• 

  Ein Simplex und dessen Stern.

• 

  Ein Simplex und dessen Link.

Abschluss

Der Abschluss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{cl}(M)} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} ist der kleinste simpliziale Teilkomplex von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{S}} , der jedes Simplex in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} enthält. Man definiert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{cl}(M)=\{\sigma \in \mathcal{S} : \sigma \text{ ist eine Seite eines Simplex in } M\}} . Der Abschluss entsteht, indem man zu jedem Simplex in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} all seine Seiten (Facetten) hinzufügt.

Stern

Der Stern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{st}(M)} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} ist der Abschluss aller Simplizes, die eine Seite in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} besitzen. Man definiert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{st}(M)=\operatorname{cl}(\{\sigma \in \mathcal{S} : \sigma \text{ besitzt eine Seite in } M\})} . Den Stern kann man verstehen als die kleinste simpliziale Umgebung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{S}} . Weiterhin bildet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overset{\circ}\operatorname{st}(\operatorname{cl}(M))} eine offene simpliziale Umgebung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{S}} .

Link

Der Link Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{lk}(M)} besteht aus allen Simplizes im Stern von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} , aber kein Simplex von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} treffen. Man definiert: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{lk}(M)=\{\sigma \in \operatorname{st}(M): \sigma \cap \tau = \emptyset \text{ für alle } \tau \in M\}} . Den Link kann man als den topologischen Rand der simplizialen Umgebung auffassen.

Simpliziale Abbildungen

Eine simpliziale Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon \mathcal{K}\to \mathcal{L}} ist eine Abbildung zwischen den Eckenmengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon V(\mathcal{K})\to V(\mathcal{L})} , bei der für jedes Simplex aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{K}} dessen Ecken unter der Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} auf die Ecken eines Simplex in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}} abgebildet werden.

Eine simpliziale Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon \mathcal{K}\to \mathcal{L}} induziert eine stetige Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vert f\vert\colon\vert \mathcal{K}\vert\to\vert \mathcal{L}\vert} . Dazu wird im Inneren jedes geometrischen Simplex eine affin lineare Fortsetzung konstruiert.

Umgekehrt lässt sich eine stetige Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \vert \mathcal{K}\vert\to\vert \mathcal{L}\vert} nach endlich vielen baryzentrische Unterteilungen durch eine simpliziale Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon \operatorname{Bd}^m(\mathcal{K})\to \mathcal{L}} approximieren, siehe simplizialer Approximationssatz. Hierbei steht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Bd}} für die baryzentrische Unterteilung.

Eine simpliziale Abbildung, die bijektiv ist, das heißt, die Umkehrabbildung ist auch eine simpliziale Abbildung, nennt man einen simplizialen Isomorphismus.

Der Simplizialkomplex als Kettenkomplex

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{K}} ein endlicher Simplizialkomplex. Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} -te simpliziale Gruppe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{K}} ist die freie abelsche Gruppe, die von der Menge der Simplizes mit Dimension Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} erzeugt wird, sie wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C^\Delta_p(\mathcal{K})} notiert. Die Elemente der Gruppe heißen simpliziale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} -Ketten. Wählt man eine totale Ordnung für alle Ecken, die in irgendeinem Simplex von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{K}} liegen, so erhält man durch Einschränkung auch eine Ordnung für jedes einzelne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} -Simplex. Ein Randoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial \colon C^\Delta_p(\mathcal{K}) \to C^\Delta_{p-1}(\mathcal{K})} wird dann definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial(\langle v_{k_0}, \ldots , v_{k_p} \rangle) := \sum_{i=0}^p (-1)^i \langle v_{k_0}, \ldots , v_{k_{i-1}}, v_{k_{i+1}} , \ldots , v_{k_p} \rangle ,}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle v_{k_0}, \ldots , v_{k_p} \rangle} das aus den Ecken erzeugte Gruppenelement meint. Für den Randoperator gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial (\partial c)= 0} für alle simplizialen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} -Ketten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} . Daher ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (C^\Delta_p(\mathcal{K}),\partial)} ein Kettenkomplex und man kann auf gewohnte Weise auf diesem eine Homologie erklären. Diese Homologie wird simpliziale Homologie genannt.

Anwendung in der Graphentheorie

Man kann einen Graphen Simplizialkomplexe zuweisen, um so untere Schranken an die chromatische Zahl zu beweisen. Wahrscheinlich am bekanntesten sind die Nachbarschaftskomplexe von László Lovász.

→ Hauptartikel: Topologische_Kombinatorik#Anwendungen von Methoden aus der Topologie auf Probleme der diskreten Mathematik

Geschichte

Triangulierungen und ein in Matrixschreibweise formuliertes Äquivalent zu dem daraus gebildeten Kettenkomplex wurden von Henri Poincaré gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts untersucht. Simplizale Abbildungen wurde erstmals 1912 von Brouwer verwendet. In den 1920er-Jahren entstand dann die Sichtweise, die zum Begriff des Kettenkomplexes führte.

Siehe auch

• Simpliziales Polytop
• Simpliziale Menge
• Simpliziale Homologie
• CW-Komplex – ein allgemeinerer Begriff, der Simplizialkomplexe als Spezialfall umfasst.
• Fahnenkomplex

Quellen

• John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds. Springer-Verlag, New York NY u. a. 2000, ISBN 0-387-98759-2 (Graduate Texts in Mathematics 202), Seiten 96, 323–324
• S. N. Malygin & M. M. Postnikov: Simplicial complex. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online). 

Weblinks

• Jörg Bewersdorff: Algebraische Topologie und Fixpunkte. Einführender Überblicksartikel (PDF-Datei; 179 kB).
• Jie Wu: Lecture Notes on Algebraic Topology: Simplicial Complexes (PDF; 713 kB) (Memento vom 4. März 2016 im Internet Archive).