Integraloperator

Ein linearer Integraloperator ist ein mathematisches Objekt aus der Funktionalanalysis. Dieses Objekt ist ein linearer Operator, der mit einer bestimmten Integralschreibweise mit einem Integralkern dargestellt werden kann.

Definition

Seien $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ und $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und sei $K\colon \Omega \times D\to \mathbb {C}$ eine messbare Funktion. Ein linearer Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \colon A \to B} zwischen den Funktionenräumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A,\, B} heißt Integraloperator, wenn er durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (Tf)(x) = \int_\Omega K(t,x) f(t) \mathrm{d} t}

dargestellt werden kann. Die Funktion $K:\Omega \times D\to \mathbb {C}$ heißt Integralkern oder kurz Kern von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} . An Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} müssen natürlich gewisse Regularitätsanforderungen gestellt werden, damit das Integral überhaupt existiert. Diese Anforderungen sind abhängig vom Definitionsbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} des Integraloperators. Oftmals sind die Integralkerne aus dem Raum der stetigen Funktionen oder aus dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen. Gilt für einen Integralkern $D=\Omega$ und $K(u,v)=K(v,u)$ für alle $u,v\in D$ , dann nennt man den Integralkern symmetrisch.

Beispiele

Tensorprodukt-Integralkern

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g, h \in L^2(\R,\Complex)} zwei quadratintegrierbare Funktionen. Das Tensorprodukt dieser Funktionen ist definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (g \otimes h)(x,y) := g(x)\overline{h(y)},}

wobei ${\bar {.}}$ die komplexe Konjugation ist. Das Tensorprodukt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g \otimes h} kann als Integralkern des Operators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \colon L^2(\R,\Complex) \to L^2(\R,\Complex)} mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (Tf)(x) = \int_\R (g \otimes h)(x,y) f(y) \mathrm{d} y := \int_\R g(x)\overline{h(y)} f(y) \mathrm{d} y}

verwendet werden. Dieser Integraloperator ist auf $L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )$ wohldefiniert.

Volterraoperator

Der Integraloperator, der durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T f(x) = \int_0^x f(t) \mathrm{d} t}

dargestellt werden kann, ist zum Beispiel für alle Funktionen $f\in L^{2}([0,1])$ definiert. Er heißt Volterraoperator und kann zur Bestimmung einer Stammfunktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} verwendet werden. Sein Integralkern $K$ ist gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(x,t) = \begin{cases} 1, & t \leq x\\ 0, & t > x \end{cases}.}

Da $K\in L^{2}([0,1]\times [0,1])$ gilt, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Fredholmscher Integraloperator

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K \colon [0,1] \times [0,1] \to \Complex} eine stetige Funktion. Dann ist ein Integraloperator durch

Tf(x)\colon =\int _{0}^{1}K(t,x)f(t)\mathrm {d} t

für alle und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \in C([0,1])} definiert. Dieser Operator ist stetig und bildet zwischen den Funktionenräumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C([0,1]) \to C([0,1])} ab. Dieser Integraloperator ist ein Beispiel eines fredholmschen Integraloperators und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} ist sein Kern, der auch Fredholm-Kern genannt wird. Ein allgemeiner fredholmscher Integraloperator zeichnet sich dadurch aus, dass die Integralgrenzen im Gegensatz zum Volterra-Operator fix sind und der Integraloperator ein linearer kompakter Operator ist.

Cauchysche Integralformel

Die cauchysche Integralformel ist definiert als

Tf(x)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\Gamma }{\frac {f(t)}{t-x}}\mathrm {d} t,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma} eine geschlossene Kurve in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} um den Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t \colon= x} ist. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} dann eine holomorphe Funktion, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Tf} die Erweiterung der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f|_\Gamma} auf einen größeren Bereich. Aber dieser Integraloperator wird in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen auch zur Untersuchung nicht holomorpher Funktionen verwendet. Der Integralkern der cauchyschen Integralformel ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2\pi\mathrm{i}(t-x)}} .

Integraltransformationen

Einige Integraloperatoren nennt man traditionell eher Integraltransformationen. Sie spielen zum Beispiel in der Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle und dienen der besseren Handhabe und Analyse des Informationsgehaltes eines Signals Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} . Wesentlich für Integraltransformationen ist der Integralkern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} , welcher eine Funktion von der Zielvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} und der Zeitvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} ist. Durch Multiplikation des Signals Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} mit dem Integralkern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} und anschließender Integration über den Grundraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} im Zeitbereich wird die sogenannte Bildfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} im Bildbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega'} gebildet:

X(u)=\int _{\Omega }x(t)K(u,t)\mathrm {d} t,\qquad u\in \Omega '\;.

Erfüllt der Integralkern die Reziprozitätsbedingung, das heißt, es existiert ein „inverser Kern“ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^{-1}} , kann aus der Bildfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} das Signal Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} rekonstruiert werden. In der praktischen Anwendung im Bereich der Signalverarbeitung spielt die Gruppe der selbstreziproken Kerne eine wesentliche Rolle. Ein Kern ist dann selbstreziprok wenn gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^{-1}(t,u) = K^{*}(u,t)}

mit der komplexen Konjugation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^{*}} des Integrationskerns Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} . Ein Beispiel für eine Integraltransformation mit selbstreziprokem Kern ist die Fourier-Transformation.

Eine weitere in der Signalverarbeitung bedeutende Form stellen die Faltungskerne dar, welche nur von der Differenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t - u} bzw. von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u - t} abhängen. Die Transformation bzw. Rücktransformation lässt sich dann mit der Faltung ausdrücken als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X(u) = \int_{\Omega} x(t) K(u - t) \mathrm dt = x(t) * K(t), \qquad u \in \Omega'}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(t) = \int_{\Omega'} X(u) K^{-1}(t - u) \mathrm du = X(u) * K^{-1}(u), \qquad t \in \Omega\;.}

Ein Beispiel für eine Integraltransformation mit Faltungskern ist die Hilbert-Transformation.

In der folgenden Tabelle werden einige bekannte, invertierbare Integraltransformationen mit entsprechendem Integralkern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} , Integrationsbereich $\Omega$ und „inversen Integralkern“ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^{-1}} gelistet.

Transformation	Symbol	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^{-1}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega'}
Fourier-Transformation	${\mathcal {F}}$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{e^{-\mathrm iu\cdot t}}{(2 \pi)^{n/2}}}	$\mathbb {R} ^{n}\,$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{e^{+\mathrm iu\cdot t}}{(2 \pi)^{n/2}}}	$\mathbb {R} ^{n}\,$
Hartley-Transformation	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{H}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}\,}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}\,}
Mellin-Transformation	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{M}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t^{u-1}\,}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ]0, \infty[} $\$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{t^{-u}}{2\pi \mathrm i}\,}	$c+\mathrm {i} \mathbb {R}$ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ }
Zweiseitige Laplace-Transformation	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{B}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{-ut}\,}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}\,}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{e^{+ut}}{2\pi \mathrm i}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c + \mathrm i\mathbb{R}}
Laplace-Transformation	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L}}	$e^{-ut}\,$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ]0, \infty[} $\$	${\frac {e^{+ut}}{2\pi \mathrm {i} }}$	$c+\mathrm {i} \mathbb {R}$
Weierstraß-Transformation	${\mathcal {W}}$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{e^{-(u-t)^2/4}}{\sqrt{4\pi}}\,}	$\mathbb {R} \,$	${\frac {e^{+(u-t)^{2}/4}}{\mathrm {i} {\sqrt {4\pi }}}}$	$c+\mathrm {i} \mathbb {R}$
Abel-Transformation		${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}\chi _{(u,\infty )}(t)$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}\,}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{-1}{\pi\sqrt{u^2\!-\!t^2}}\chi_{(t,\infty)}(u)\frac{\rm d}{{\rm d}u}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}\,}
Hilbert-Transformation	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{H}il} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{H}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}\,}	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$\mathbb {R} \,$
Hankel-Transformation mit $\operatorname {J} _{\nu }(ut)$ Bessel-Funktion erster Gattung und ν-ter Ordnung	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{H}_\nu}	$t\operatorname {J} _{\nu }(ut)$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ]0, \infty[} $\$	$u\operatorname {J} _{\nu }(ut)$	$]0,\infty [$ $\$
Stieltjes-Transformation	${\mathcal {S}}$	${\frac {1}{u+t}}$	$]0,\infty [$ $\$

Integraltransformationen lassen sich auf höhere Dimensionen erweitern, beispielsweise spielen in der Bildverarbeitung zweidimensionale Integraltransformationen eine wesentliche Rolle. Bei Erweiterung auf zwei Dimensionen werden die Funktionen einer Variablen auf Funktionen von zwei Variablen festgelegt, die Integralkerne sind dann Funktionen mit vier Variablen. Im Falle von unabhängigen Variablen können die Kerne faktorisiert werden und setzten sich dann als ein Produkt zweier einfacher Kerne zusammen.

Singuläres Integral

Singuläre Integrale sind Integraloperatoren, die einen Integralkern mit Singularität haben. Das heißt, der Integralkern ist auf der Diagonalen nicht Lebesgue-integrierbar. Daher muss der Integralbegriff für die im Folgenden definierten Integralkerne angepasst werden.

Standard-Integralkern

Sei $D:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mid x=y\}$ die Diagonale in $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ . Dann bezeichnet man als Standard-Kern eine stetige Funktion

K:\mathbb {R} ^{n}\setminus D\to \mathbb {C}

mit den folgenden zwei Eigenschaften:

$K(x,y)\leq {\frac {C}{|x-y|^{n}}}$
$|\nabla _{x}K(x,y)|+|\nabla _{y}K(x,y)|\leq {\frac {C}{|x-y|^{n+1}}}.$

Die Gradienten sind im distributionellen Sinne zu verstehen.

Singulärer Integraloperator

Sei $K$ ein Standard-Integralkern. Dann heißt der Operator

T(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}K(x,y)f(y)\mathrm {d} y

singulärer Integraloperator. Der Name kommt daher, dass der Operator für $x=y$ eine Singularität besitzt. Auf Grund dieser Singularität konvergiert das Integral im Allgemeinen nicht absolut. Daher muss der Ausdruck $T(f)$ als

T(f)(x):=\lim _{\epsilon \searrow 0}\int _{|x-y|>\epsilon }K(x,y)f(y)\mathrm {d} y

verstanden werden. Dieser Ausdruck existiert für alle $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ mit $1\leq p<\infty$ .

Distributionen als Integralkerne

Auch Distributionen können als Integralkerne verwendet werden. Ein zentraler Satz aus diesem Bereich ist der Kernsatz von Schwartz. Dieser besagt, dass es zu jeder Distribution $K\in {\mathcal {D}}'(\Omega _{1}\times \Omega _{2})$ einen linearen Operator

{\mathcal {K}}:{\mathcal {D}}(\Omega _{2})\to {\mathcal {D}}'(\Omega _{1})

gibt, der für alle $\psi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{1})$ und $\phi \in {\mathcal {D}}(\Omega _{2})$ durch

({\mathcal {K}}\phi )(\psi )=K(\phi \otimes \psi )

gegeben ist. Außerdem gilt auch die Rückrichtung. So gibt es zu jedem Operator ${\mathcal {K}}$ eine eindeutige Distribution $K,$ so dass $({\mathcal {K}}\phi )(\psi )=K(\phi ,\psi )$ gilt. Diese Distribution $K$ nennt man Schwartz-Kern, benannt nach dem Mathematiker Laurent Schwartz, der den Kernsatz als erster formulierte. Diese Operatoren ${\mathcal {K}}$ können jedoch nicht als Integraloperatoren mit dem Lebesgue-Integral dargestellt werden. Da die Darstellung als Integraloperator jedoch wünschenswert erschien, führte Lars Hörmander den Begriff des oszillierenden Integrals ein. Mit diesem neuen Integralbegriff kann der Integralkern durch

K(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{n}}p(x,\xi )e^{\mathrm {i} (x-y)\xi }\mathrm {d} \xi

angegeben werden und dann ist der Operator ${\mathcal {K}}$ als Integraloperator der Gestalt

{\mathcal {K}}\phi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}K(x,.)\phi (x)\mathrm {d} x=\int _{\Omega _{2}\times \mathbb {R} ^{n}}p(x,\xi )e^{\mathrm {i} (x-.)\xi }\phi (x)\mathrm {d} (x,\xi )

gegeben, wobei die Integrale wieder oszillierende Integrale sind. Die Gleichheitszeichen sind im Sinne von Distributionen zu verstehen, was

({\mathcal {K}}\phi )(\psi )=K(\phi \otimes \psi )=\int _{\Omega _{1}\times \Omega _{2}}K(x,.)\phi (x)\psi (y)\mathrm {d} (x,y)=\int _{\Omega _{1}\times \Omega _{2}\times \mathbb {R} ^{n}}p(x,\xi )e^{\mathrm {i} (x-.)\xi }\mathrm {d} \xi \phi (x)\psi (y)\mathrm {d} (x,y,\xi )

bedeutet.

Nichtlineare Integraloperatoren

Ein nichtlinearer (Urysohn-)Integraloperator hat die Gestalt

Tf(x)=\int _{\Omega }K(t,x,f(t))\mathrm {d} t

mit einem geeigneten Definitionsbereich der Kernfunktion K und Integrationsbereich Ω.

Literatur

M.A. Krasnoselski: Topological Methods in the Theory of nonlinear Integral Equations. Oxford 1964.
Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.
Elias M. Stein: Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993, ISBN 0-691-03216-5.

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