Sitnikov-Problem

Das Sitnikov-Problem ist ein nach dem russischen Mathematiker Kirill Alexandrowitsch Sitnikow (* 1926) benannter Spezialfall des eingeschränkten Dreikörperproblems und beschreibt die Bewegung dreier Himmelskörper unter ihrer gegenseitigen gravitativen Anziehung.

Definition

Bild 1: Konfiguration des Sitnikov-Problems

Das System besteht aus 2 Primärkörpern (z. B. Sterne) mit gleicher Masse $\left(m_{1}=m_{2}={\tfrac {m}{2}}\right)$, die sich auf kreisförmigen oder elliptischen Keplerbahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt bewegen. Der dritte Körper, der wesentlich kleiner ist als die beiden Primärkörper und dessen Masse daher gleich null gesetzt werden kann $(m_{3}=0)$, bewegt sich unter dem Einfluss der Primärkörper in einer Ebene, die senkrecht auf der Bahnebene der Primärkörper steht (siehe Bild 1). Der Koordinatenursprung liegt im Schwerpunkt der beiden Primärkörper. Als Einheit der Masse verwendet man die Gesamtmasse der Primärkörper $(m=1)$, als Einheit der Zeit deren Umlaufperiode um den Schwerpunkt $(2\pi )$ und als Einheit der Länge den Radius der Bahn $(a=1)$; außerdem wird die Gravitationskonstante gleich 1 gesetzt. In so einem System ist die Bewegung des dritten Körpers eindimensional, – er bewegt sich nur entlang der z-Achse.

Bewegungsgleichung

Zur Ableitung der Bewegungsgleichung (für den Fall von kreisförmigen Bahnen der Primärkörper) bestimmt man zuerst die Gesamtenergie $\,E$ des Systems:

$E={\frac {1}{2}}\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{r}}$

Nach der Zeit abgeleitet ergibt das:

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{r^{3}}}$

Es gilt (siehe Bild 1):

$r^{2}=a^{2}+z^{2}=1+z^{2}$

Und daher folgt als Bewegungsgleichung:

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{\left({\sqrt {1+z^{2}}}\right)^{3}}}$

Bedeutung

Obwohl es nahezu unmöglich ist, dass sich drei Himmelskörper in einer Sitnikov-Konfiguration anordnen oder bilden, wird das Sitnikov-Problem seit Jahrzehnten intensiv untersucht: obwohl es einen sehr einfachen Fall des Dreikörperproblems darstellt, findet man im elliptischen Sitnikov-Problem trotzdem alle Eigenschaften eines chaotischen Systems, weshalb es sich hervorragend zu allgemeinen Untersuchungen über chaotische Effekte in dynamischen Systemen eignet.

Siehe auch

• Himmelsmechanik
• Zweikörperproblem
• Chaosforschung

Weblinks

• Störungsanalyse des Sitnikov Problems für hohe Ordnungen unter Verwendung automatisierter Herleitungsmethoden in Mathematica (Diplomarbeit)
• Florian Freistetter, Seltsame Welten: Sitnikov-Planeten

Literatur

• K. A. Sitnikov: The existence of oscillatory motions in the three-body problems. In: Doklady Akademii Nauk SSSR, 133/1960, S. 303–306, ISSN 0002-3264 (englische Übersetzung in Soviet Physics. Doklady., 5/1960, S. 647–650)
• K. Wodnar: The original Sitnikov article – new insights., In: Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 56/1993, S. 99–101, ISSN 0923-2958, bibcode:1993CeMDA..56...99W
• D. Hevia, F. Rañada: Chaos in the three-body problem: the Sitnikov case. In: European Journal of Physics. Band 17, 1996, ISSN 0143-0807, S. 295–302, doi:10.1088/0143-0807/17/5/009. 
• Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurths, Chaos and Stability in Planetary Systems., Springer, 2005, ISBN 3540282084