Sphärensatz

Der Sphärensatz ist ein bedeutendes Resultat aus der globalen riemannschen Geometrie. Nach Vorarbeiten von Harry Rauch bewiesen Wilhelm Klingenberg und Marcel Berger diesen Satz im Jahr 1961.

Sphärensatz

(Klassischer) Sphärensatz

Sei $(M,g)$ eine n-dimensionale, kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit, für deren Schnittkrümmung $K$

$0<h<K\leq 1$

mit $\textstyle h={\frac {1}{4}}$ gilt. Dann ist $M$ homöomorph zur Sphäre.

Differenzierbarer Sphärensatz

Erfüllt die riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ beziehungsweise deren Schnittkrümmung dieselben Voraussetzungen wie im (klassischen) Sphärensatzes, so ist $M$ diffeomorph zur Sphäre, die mit der normalen differenzierbaren Struktur ausgestattet ist.

Entstehung des Satzes

Der Sphärensatz wurde von Harry Rauch im Jahr 1951 für $\textstyle h\sim {\frac {3}{4}}$ bewiesen. Wilhelm Klingenberg brachte dieses Problem mit dem Schnittort in Zusammenhang. In dem Fall, dass die Mannigfaltigkeit gerade Dimension hat und obige Ungleichung bezüglich der Schnittkrümmung erfüllt, war die Entfernung zum Schnittort größergleich $\pi$ (Lemma von Klingenberg). Mit dieser Aussage bewies Klingenberg den Sphärensatz für $h\,\sim \,0{,}55$ und gerade Dimension. Mit Hilfe des Satzes von Toponogov und des gerade erwähnten Lemmas von Klingenberg bewies 1960 Marcel Berger den Sphärensatz für $\textstyle h={\frac {1}{4}}$ und gerader Dimension. Im Jahr 1961 konnte Klingenberg das erwähnte Lemma auch für ungerade Dimension beweisen. Der Beweis für ungerade Dimensionen ist ungleich komplizierter und verwendet Morsetheorie. Dies vollendete den Beweis des Sphärensatzes. Tsukamoto konnte zeigen, dass der Satz von Toponogov für den Beweis des Sphärensatzes nicht notwendig ist.

Im Jahr 2007 gelang es Simon Brendle und Richard Schoen zu beweisen, dass unter obigen Voraussetzungen die Mannigfaltigkeit $M$ sogar diffeomorph zur Sphäre ist.

Hilfsaussagen

In diesem Abschnitt werden noch einige Aussagen aufgezeigt, die wichtig für den Beweis des Sphärensatzes sind. Das hier als erstes angegebene Lemma von Klingenberg entspricht dem aus dem obigen Abschnitt.

Lemma von Klingenberg

Sei $M$ eine kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit, für deren Schnittkrümmung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} die Ungleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{4} < K \leq 1}

gilt. Dann folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i(M) \geq \pi,}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i(M)} den kürzesten Abstand zu einem nächsten Schnittort meint. Dies nennt man auch den injektiven Radius von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M.}

Existenz von Hemisphären

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} eine n-dimensionale, kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit, für deren Schnittkrümmung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \frac{1}{4} < \delta \leq K \leq 1} gilt, und seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p ,q \in M} , so dass $d(p,q)=\operatorname {diam} (M)$ gilt. Dann folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M = B_\rho(p) \cup B_\rho(q),}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_\rho(p) \subset M} den offenen geodätischen Ball mit Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{\pi}{2} \sqrt{\delta} < \rho < \pi} und mit Mittelpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p \in M} bezeichnet. Die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{diam}} gibt den Durchmesser der riemannschen Mannigfaltigkeit an.

Existenz eines Äquators

Unter den zur Existenz von Hemisphären gemachten Voraussetzungen existiert für jede Geodätische mit der Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} und mit Startpunkt $p$ ein eindeutiger Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} , so dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(p,k) = d(q,k)}

gilt. Genauso gilt für jede Geodätische mit Startpunkt $q$ und Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} , dass ein eindeutiger Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} existiert, welcher äquidistant von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} ist. Die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(.,.)} ist die Abstandsfunktion, welche durch die riemannsche Metrik induziert wird.

Weitere Anmerkungen

Konstruierter Homöomorphismus

Berger konstruierte in dem Beweis des Sphärensatzes eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h\colon \mathbb{S}^n \to M} , von der er zeigte, dass sie ein Homöomorphismus ist. Sei $I\colon T_{\bar {p}}\mathbb {S} ^{n}\to T_{p}M$ für ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{p} \in \mathbb{S}^n} eine Isometrie und sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{q} = - \bar{p}} der antipodale Punkt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{p}} . Die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h\colon \mathbb{S}^n \to M} ist nun definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \mapsto \begin{cases} p, & x = \bar{p} \in \mathbb{S}^n\\ \exp_p\left(\frac{d(x,\bar{p})}{\pi / 2} \cdot (f \circ I \circ \exp_{\bar{p}}^{-1})(x)\right), & d(x, \bar{p}) \leq \tfrac{\pi}{2}\\ \exp_q\left(\frac{d(x,\bar{q})}{\pi / 2} \cdot (\exp_q^{-1} \circ \exp_p \circ f \circ I \circ \exp_{\bar{p}}^{-1})(x)\right), & d(x, \bar{q}) \leq \tfrac{\pi}{2}\\ q, & x = \bar{q} \in \mathbb{S}^n. \end{cases}}

Die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exp} ist die Exponentialabbildung und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(.,.)} ist die Abstandsfunktion, welche durch die riemannsche Metrik induziert wird.

Optimale Schranke

Der komplexe projektive Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex \mathbb{P}^n} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n > 1} ist kompakt und einfach zusammenhängend und die Schnittkrümmung erfüllt die Ungleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \frac{1}{4} \leq K \leq 1} . Es ist jedoch bekannt, dass der komplex projektive Raum nicht homöomorph zur Sphäre ist. Das heißt, bei gerader Dimension $n\geq 4$ ist ${\tfrac {1}{4}}$ die optimale Schranke. Bei ungerader Dimension ist bekannt, dass der Satz auch für $\textstyle {\frac {1}{4}}\leq K\leq 1$ gilt. Jedoch ist die optimale Schranke noch nicht gefunden worden. Für Dimension $n=2,3$ ist der Satz sogar für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 0 \leq K \leq 1} richtig.

Satz von Hamilton

Fünfundzwanzig Jahre, bevor der differenzierbare Sphärensatz bewiesen werden konnte, veröffentlichte Richard S. Hamilton im Jahr 1982 einen Satz, den er mit Hilfe von Techniken aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen aus dem (topologischen) Sphärensatz ableitete. Die Aussage des Satzes lautet:

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} eine kompakte, einfach zusammenhängende, riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension drei mit strikt positiver Ricci-Krümmung. Dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} diffeomorph zur Sphäre Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{S}^3} .

Siehe auch

• Sphärensatz von Grove-Shiohama

Literatur

• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
• Simon Brendle Der Sphärensatz in der Riemannschen Geometrie, Jahresbericht DMV, Band 113, 2011, Heft 3, S. 123–138