Spiegelungsmatrix

Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden $g$ in der Ebene mit dem Neigungswinkel $\alpha$. Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Matrix-Vektor-Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.

Spiegelung an einer ebenen Ursprungsgeraden

Die Matrix einer Spiegelung $S_{g}$ an einer Ursprungsgeraden mit dem Winkel $\alpha$ zur positiven x-Achse ist:

$S_{g}={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}$.

Zum Beispiel ist die Matrix einer Spiegelung S an der x-Achse:

$S={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$.

Spiegelung an einer beliebigen ebenen Geraden

Damit lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors ${\vec {v}}$ an einer beliebigen Geraden $g={\vec {a}}+r\cdot {\vec {u}}$ mit Neigungswinkel $\alpha$ darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:

1. Es wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden $g^{*}=r\cdot {\vec {u}}$ zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von $g$ um $-{\vec {a}}$ erreicht: ${\vec {v}}'={\vec {v}}-{\vec {a}}$. Der Vektor ${\vec {v}}'$ wird nun an $g^{*}$ gespiegelt:

   ${\vec {q}}'=S_{g}({\vec {v}}')=S_{g}({\vec {v}}-{\vec {a}})={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}\cdot ({\vec {v}}-{\vec {a}})$

2. Verschiebung von ${\vec {q}}'$ um den Stützvektor ${\vec {a}}$ der Ausgangsgeraden $g$

   ${\vec {q}}={\vec {q}}'+{\vec {a}}={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}\cdot ({\vec {v}}-{\vec {a}})+{\vec {a}}$

Allgemeinere Spiegelungen

Spiegelungsmatrizen sind orthogonale Matrizen und haben die Determinante −1.

Die Darstellungen von Spiegelungen an Hyperebenen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.

Literatur

• Wolfgang Mackens, Heinrich Voß: Mathematik. Für Studierende der Ingenieurwissenschaften. Band 1. HECO-Verlag, Aachen 1993, ISBN 3-930121-00-X.