Spinorbündel

Ein Spinorbündel – auch Spinbündel genannt – ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Es ist eine spezielle Art eines Vektorbündels über einer Mannigfaltigkeit. Spinorbündel können nur für Spin-Mannigfaltigkeiten definiert werden. Dies sind spezielle riemannsche Mannigfaltigkeiten mit einer Spinstruktur auf dem Tangentialbündel. Ob ein Tangentialbündel mit einer Spinstruktur ausgestattet werden kann, kann durch die zweite Stiefel-Whitney-Klasse gemessen werden.

Der Raum der glatten Schnitte eines Spinorbündels wird auch als Raum der Spinoren oder Spinorfelder bezeichnet und dient als eine natürliche Definitionsmenge für den Dirac-Operator.

Das mathematische Teilgebiet, das sich mit Spinorbündeln und Spin-Mannigfaltigkeiten sowie mit verwandten Themen, wie zum Beispiel Dirac-Operatoren und deren Indextheorie beschäftigt, wird als Spin-Geometrie bezeichnet.

Spinstruktur

Sei $(M,g)$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und $\pi _{E}\colon E\to M$ ein orientiertes hermitesches Vektorbündel der Dimension $n$. Mit $\operatorname {Spin} (n)$ wird die Spin-Gruppe von $C\ell _{n}$ bezeichnet. Sie kann als eine zweiblättrige Überlagerung $\tau _{0}\colon \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)$ der orthogonalen Gruppe $\operatorname {SO} (n)$ aufgefasst werden. Eine Spinstruktur auf $E$ ist ein $\operatorname {Spin} (n)$-Hauptfaserbündel $P_{\operatorname {Spin} }(E)\to E$ zusammen mit einer zweiblättrigen Überlagerung

$\tau \colon P_{\operatorname {Spin} }(E)\to P_{\operatorname {SO} }(E)$

des $\operatorname {SO} (n)$-Hauptfaserbündels $P_{\operatorname {SO} }(E)$, so dass $\tau (pg)=\tau (p)\tau _{0}(g)$ für alle $p\in P_{\operatorname {Spin} }(E)$ und alle $g\in \operatorname {Spin} (n)$ gilt.

Spin-Mannigfaltigkeit

Eine Spin-Mannigfaltigkeit ist eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit, die eine Spinstruktur auf ihrem Tangentialbündel erlaubt.

Da die Stiefel-Whitney-Klasse einer Mannigfaltigkeit definiert ist als die Stiefel-Whitney-Klasse ihres Tangentialbündels ist, bedeutet das, dass eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit genau dann eine Spinstruktur zulässt, wenn $\omega _{\text{2}}(X)=0$ gilt. Dann werden die verschiedenen Spinstrukturen von den Elementen von $H^{1}(X;\mathbb {Z} _{\text{2}})$ bestimmt.

Definition des Spinorbündels

Sei $(M,g)$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension und einer Spinstruktur $\pi \colon P_{\operatorname {Spin} }(M)\to TM$ auf dem Tangentialbündel $TM$, also kurz eine Spin-Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension. Sei $S$ die Darstellung der komplexen Clifford-Algebra $\mathbb {C} l(n)$ (auch Spinor-Modul genannt). Die $\operatorname {Spin} (n)$-Gruppe hat als Teilmenge von $\mathbb {C} l(n)$ ebenfalls eine Darstellung $\rho \colon \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {End} (S)$.

Das Spinorbündel ${\mathcal {S}}$ über der Mannigfaltigkeit $M$ ist definiert als das assoziierte komplexe Vektorbündel

${\mathcal {S}}:=P_{\operatorname {Spin} }(M)\times _{\operatorname {Spin} (n)}S\,.$

Hierbei bezeichnet $\times _{\operatorname {Spin} (n)}$ das Faserprodukt von $P_{\operatorname {Spin} }(M)$ mit $S$ über $\operatorname {Spin} (n)$. In diesem konkreten Fall bedeutet dies

$P_{\operatorname {Spin} }(M)\times _{\operatorname {Spin} (n)}S=P_{\operatorname {Spin} }(M)\times S/\{(p\cdot g,f)\sim (p,\rho (g)f\}$

für $p\in P_{\operatorname {Spin} }(M)$, $g\in \operatorname {Spin} (n)$ und $f\in S$.

Literatur

• Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997. ISBN 3-528-06926-0.