Störungslemma

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Als Störungslemma bezeichnet man in der Numerik einen Satz, der eine Aussage über die Norm der Inversen einer regulären Matrix bei kleinen Störungen macht.

Aussage

Sei eine reguläre Matrix und eine Matrix mit

in einer submultiplikativen Matrixnorm . Dann ist auch die Matrix regulär und es gilt für ihre Inverse:

Beweis

Sei . Dann gilt

Also konvergiert die Neumann-Reihe und ist invertierbar. Da invertierbar ist, folgt, dass auch invertierbar ist und

Verwendung

Dieses Lemma wird verwendet, um die Konditionszahl für das Lösen linearer Gleichungssysteme als

herzuleiten.

Literatur

  • J. W. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia 1997
  • A. Kielbasinski und H. Schwetlick: Numerische lineare Algebra. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988, ISBN 3-326-00194-0