Störungslemma

Als Störungslemma bezeichnet man in der Numerik einen Satz, der eine Aussage über die Norm der Inversen einer regulären Matrix bei kleinen Störungen macht.

Aussage

Sei $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ eine reguläre Matrix und $\delta A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ eine Matrix mit

$\|A^{-1}\|\cdot \|\delta A\|<1$

in einer submultiplikativen Matrixnorm $\|\cdot \|$. Dann ist auch die Matrix $A+\delta A$ regulär und es gilt für ihre Inverse:

$\|(A+\delta A)^{-1}\|\leq {\frac {\|A^{-1}\|}{1-\|A^{-1}\|\|\delta A\|}}.$

Beweis

Sei $T:=I-A^{-1}(A+\delta A)$. Dann gilt

$\|T\|=\|A^{-1}\cdot \delta A\|\leq \|A^{-1}\|\cdot \|\delta A\|<1$

Also konvergiert die Neumann-Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }T^{n}$ und $I-T=A^{-1}(A+\delta A)$ ist invertierbar. Da $A^{-1}$ invertierbar ist, folgt, dass auch $A+\delta A$ invertierbar ist und

$\|(A+\delta A)^{-1}\|=\|(I-T)^{-1}A^{-1}\|\leq \|A^{-1}\|\sum _{n=0}^{\infty }\|T^{n}\|\leq {\frac {\|A^{-1}\|}{1-\|A^{-1}\|\|\delta A\|}}$

Verwendung

Dieses Lemma wird verwendet, um die Konditionszahl für das Lösen linearer Gleichungssysteme als

$\kappa (A)=\|A\|\cdot \|A^{-1}\|$

herzuleiten.

Literatur

• J. W. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia 1997
• A. Kielbasinski und H. Schwetlick: Numerische lineare Algebra. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988, ISBN 3-326-00194-0