Stack (Kategorientheorie)

In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack (englisch für „Stapel“) eine (auf eine bestimmte Art) kategorifizierte Garbe. Die Kategorifizierung besteht aus zwei Schritten: der Kategorifizierung einer Prägarbe und der des Abstiegsaxioms, dessen Erfüllung eine Prägarbe zu einer Garbe macht.

Für einen topologischen Raum $X$ sei ${\mathfrak {Cov}}(X)$ die Kategorie, deren Objekte surjektive stetige Abbildungen $j\colon U\to X$ sind, und deren Morphismen surjektive stetige Abbildungen $i\colon U_{1}\to U_{2}$ sind, so dass $j_{1}=j_{2}\circ i$ gilt.

• Eine Prägarbe über $X$ in einer Kategorie ${\mathfrak {C}}$ ist ein kontravarianter Funktor ${\mathcal {F}}\colon {\mathfrak {Cov}}(X)\to {\mathfrak {C}}$.

Für jeden Morphismus $i\colon U\to V$ und ein Pullback

$U^{2}$	$\to$	$U$
$\downarrow$		$\downarrow$
$U$	$\to$	$V$

bekommt man ein induziertes kommutierendes Diagramm

${\mathcal {F}}(V)$	$\to$	${\mathcal {F}}(U)$
$\downarrow$		$\downarrow$
${\mathcal {F}}(U)$	$\to$	${\mathcal {F}}(U^{2})$

(mit umgedrehten Pfeilen). Gemäß der universellen Eigenschaft eines Pullbacks

$D$	$\to$	${\mathcal {F}}(U)$
$\downarrow$		$\downarrow$
${\mathcal {F}}(U)$	$\to$	${\mathcal {F}}(U^{2})$

gibt es einen eindeutigen Morphismus $\mathrm {Des} (i,{\mathcal {F}}):{\mathcal {F}}(V)\to D$ in der Kategorie ${\mathfrak {C}}$.

• Das Abstiegsaxiom für die Prägarbe ${\mathcal {F}}$ lautet: Für jedes $i\colon U\to V$ ist der Morphismus $\mathrm {Des} (i,{\mathcal {F}})$ ein Isomorphismus.

Man kann sich nun überlegen, dass diese Definitionen mit den eher gebräuchlichen aus dem Artikel über Garben übereinstimmt. Sie erlauben jedenfalls eine Kategorifizierung in natürlicher Art und Weise: Kategorien werden 2-Kategorien, Funktoren werden 2-Funktoren, Objekte werden Kategorien, Morphismen werden Funktoren, und Gleichungen von Morphismen werden natürliche Äquivalenzen. Dabei wird die Kategorie ${\mathfrak {Cov}}(X)$ zu einer 2-Kategorie, indem man nur Identitäten als 2-Morphismen zulässt.

Damit ergeben sich die folgenden Definitionen:

• Eine gefaserte Kategorie über $X$ in einer 2-Kategorie ${\mathfrak {C}}$ ist ein kontravarianter 2-Funktor ${\mathcal {F}}:{\mathfrak {Cov}}(X)\to {\mathfrak {C}}$.
• Das Abstiegsaxiom für eine gefaserte Kategorie ${\mathcal {F}}$ lautet: Für jeden 1-Morphismus $i\colon U\to V$ ist der Funktor $\mathrm {Des} (i,{\mathcal {F}})$ eine Äquivalenz von Kategorien.
• Ein Stack ist eine gefaserte Kategorie, die das Abstiegsaxiom erfüllt.

Bemerkung: Eigentlich sollte eine gefaserte Kategorie „Prä-Stack“ heißen, aber dieser Begriff ist bereits durch eine etwas andere, nicht-äquivalente Definition belegt.

Literatur

• Ieke Moerdijk: Introduction to the language of stacks and gerbes. University of Utrecht, 2002 (englisch) arxiv:math.AT/0212266

Weblinks

• Stacks Project