Starrer Körper (Algebra)

Ein starrer Körper (englisch: rigid field) ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine ausgezeichnete algebraische Struktur, und zwar ein Körper, der als (Körper-)Automorphismus nur einen einzigen, den trivialen, nämlich die Identität, zulässt.

Beispiele

Ein Primkörper $\Pi$ ist starr. Denn für jeden Automorphismus $\sigma$ ist $\operatorname {Fix} (\Pi ,\sigma ):=\{x\in \Pi \;|\;\sigma (x)=x\}$ in $\Pi$ enthalten und ein Körper (der Fixkörper). Da $\Pi$ keinen echten Teilkörper enthält, ist der Fixkörper gleich ganz $\Pi$, und $\sigma$ wirkt trivial auf $\Pi$.

Die starren Körper der Charakteristik 0 sind genau die euklidischen Körper. Dazu gehören u. a. der Primkörper der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$, der Körper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ und der reell abgeschlossene Körper $\mathbb {A} \cap \mathbb {R}$ der algebraischen reellen Zahlen.

Gegenbeispiele

Ein Zwischenkörper ist nicht automatisch starr, wenn Ober- und Teilkörper es sind. Bspw. hat der quadratische Zahlkörper $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, der zwischen den rationalen Zahlen und den reellen Zahlen liegt ($\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subset \mathbb {A} \!\cap \!\mathbb {R}$), eine nicht-triviale Konjugationsabbildung.

Ein Körper der Charakteristik 0, der ein Element $\mathrm {i}$ mit $\mathrm {i} ^{2}=-1$ enthält, enthält auch eine Konjugationsabbildung, ist also nicht starr.