Stiefel-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik parametrisieren Stiefel-Mannigfaltigkeiten, benannt nach Eduard Stiefel, die Orthonormalbasen der Unterräume eines Vektorraumes.

Definition

Sei $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ oder $\mathbb {H}$ der (Schief-)Körper der reellen, komplexen oder quaternionischen Zahlen und sei $V=\mathbb {K} ^{n}$ ein $n$ -dimensionaler $\mathbb {K}$ -Vektorraum. Sei $0\leq k\leq n$ .

Dann ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit $V_{k}(\mathbb {K} ^{n})$ definiert als Menge aller $k$ -Tupel orthonormaler Vektoren.

Die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit wird definiert als Menge der $k$ -Tupel linear unabhängiger Vektoren. Die Inklusion von $V_{k}(\mathbb {K} ^{n})$ in die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine Homotopieäquivalenz.

Wirkung der linearen Gruppe

Die Gruppe $\operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )$ wirkt transitiv auf der nichtkompakten Stiefel-Mannigfaltigkeit mit Stabilisator $\operatorname {GL} (k,\mathbb {K} )$ , man erhält also eine Bijektion mit

\operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )/\operatorname {GL} (k,\mathbb {K} )

.

Auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit $V_{k}(\mathbb {K} ^{n})$ wirken sogar die orthogonalen bzw. unitären Gruppen bereits transitiv und man erhält Bijektionen

{\begin{aligned}V_{k}(\mathbb {R} ^{n})&\cong \operatorname {O} (n)/\operatorname {O} (n-k)\\V_{k}(\mathbb {C} ^{n})&\cong \operatorname {U} (n)/\operatorname {U} (n-k)\\V_{k}(\mathbb {H} ^{n})&\cong \operatorname {Sp} (n)/\operatorname {Sp} (n-k).\end{aligned}}

Topologie

Man benutzt die obigen Bijektionen, um auf $V_{k}(\mathbb {K} ^{n})$ eine Topologie zu definieren, mit der die Bijektion zu einem Homöomorphismus wird. Mit dieser Topologie werden die $V_{k}(\mathbb {K} ^{n})$ zu Mannigfaltigkeiten der folgenden Dimensionen:

\dim V_{k}(\mathbb {R} ^{n})=nk-{\frac {1}{2}}k(k+1)

\dim V_{k}(\mathbb {C} ^{n})=2nk-k^{2}

\dim V_{k}(\mathbb {H} ^{n})=4nk-k(2k-1).

Äquivalent kann man die Topologie auch definieren durch die kanonische Identifizierung von $V_{k}(\mathbb {K} ^{n})$ mit einem Unterraum von $\mathbb {K} ^{nk}$ .

Prinzipalbündel über der Graßmann-Mannigfaltigkeit

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit $G_{k}(\mathbb {K} ^{n})$ ist die Menge der $k$ -dimensionalen Untervektorräume des $\mathbb {K} ^{n}$ .

Jedem $k$ -Tupel linear unabhängiger Vektoren kann man den von ihm erzeugten Untervektorraum zuordnen, auf diese Weise definiert man eine Projektion

V_{k}(\mathbb {K} ^{n})\rightarrow G_{k}(\mathbb {K} ^{n})

.

Die so definierten Projektionen sind Prinzipalbündel

{\begin{aligned}\operatorname {O} (k)&\to V_{k}(\mathbb {R} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {R} ^{n})\\\operatorname {U} (k)&\to V_{k}(\mathbb {C} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {C} ^{n})\\\operatorname {Sp} (k)&\to V_{k}(\mathbb {H} ^{n})\to G_{k}(\mathbb {H} ^{n}).\end{aligned}}