Sullivan-Starrheit

Im mathematischen Teilgebiet der geometrischen Funktionentheorie ist Sullivan-Starrheit (engl. Sullivan rigidity) eine tiefliegende Verallgemeinerung der Mostow-Starrheit in der Theorie der Kleinschen Gruppen. Sie geht auf Dennis Sullivan zurück.

Sullivan-Starrheit spielt eine zentrale Rolle beim Beweis wesentlicher Sätze der 3-dimensionalen Topologie, zum Beispiel beim Beweis der Ending Lamination Conjecture von Brock-Canary-Minsky und bei Thurstons Beweis der Geometrisierung gefaserter 3-Mannigfaltigkeiten.

Starrheitssatz

Seien $\Gamma _{1},\Gamma _{2}\subset \mathrm {Isom} (H^{n})$ diskrete Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes $H^{n},n\geq 3$ , zu denen es einen Isomorphismus $\rho \colon \Gamma _{1}\to \Gamma _{2}$ gibt. Die Wirkung von $\Gamma _{1}$ auf ihrer Limesmenge $\Lambda (\Gamma _{1})$ sei rekurrent.

Wenn dann $f\colon \partial _{\infty }H^{n}\to \partial _{\infty }H^{n}$ ein quasikonformer Homöomorphismus des Randes im Unendlichen des hyperbolischen Raumes ist, so dass

f(\gamma (x))=\rho (\gamma )(f(x))\ \forall \gamma \in \Gamma _{1},x\in H^{n}

gilt und die Einschränkung von $f$ auf den Diskontinuitätsbereich $\Omega (\Gamma _{1})$ eine konforme Abbildung ist, dann muss $f$ eine Möbiustransformation sein.

Die Voraussetzung über eine rekurrente Wirkung auf der Limesmenge ist (nach einem Satz von Ahlfors) für alle endlich erzeugten Gruppen automatisch erfüllt.
Aus dem Starrheitssatz folgt für endlich erzeugte Kleinsche Gruppen $\Gamma \subset \mathrm {Isom} ^{+}(H^{3})$ , dass jedes $\Gamma$ -invariante Beltrami-Differential $\mu$ mit $\mathrm {supp} (\mu )\subset \Lambda (\Gamma )$ fast überall Null sein muss.
Sullivan-Starrheit hat zahlreiche Anwendungen in der komplexen Dynamik und in der Geometrie hyperbolischer Mannigfaltigkeiten unendlichen Volumens.

Dennis Sullivan: On the ergodic theory at infinity of an arbitrary discrete group of hyperbolic motions. Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978), pp. 465–496, Ann. of Math. Stud., 97, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1981.
Matsuzaki-Taniguchi: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9 (Kapitel 5.2: The Sullivan rigidity theorem)
M. Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. ISBN 978-0-8176-4912-8 (Kapitel 8.6: Sullivan rigidity theorem)