Ereigniszeitanalyse

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Die Ereigniszeitanalyse (auch Verweildaueranalyse, Verlaufsdatenanalyse, Ereignisdatenanalyse, englisch survival analysis, analysis of failure times und event history analysis) ist ein Instrumentarium statistischer Methoden, bei der die Zeit bis zu einem bestimmten Ereignis („time to event“) zwischen Gruppen verglichen wird, um die Wirkung von prognostischen Faktoren, medizinischer Behandlung oder schädlichen Einflüssen zu schätzen. Das Ereignis kann dabei ein bevorstehender Tod sein, jedoch auch beliebige andere Endpunkte, wie Heilung, Erkrankung oder Eintreten einer Komplikation kommen infrage. Beispiele für eine solche Analyse sind der Kaplan-Meier-Schätzer, die Cox-Regression oder das Modell für beschleunigte Ausfallzeiten. Eine zentrale Größe ist die Hazardrate.

Bezeichnungen für dieses Verfahren

Das Verfahren wurde von unterschiedlichen Autoren abweichend bezeichnet. Weil es verschiedene Anwendungszwecke gibt, sind heute noch verschiedene Begriffe in Gebrauch, die gleichwertig sind und oft synonym verwendet werden. Das Grundverfahren ist immer gleich.

• In der medizinischen Statistik meist Überlebensanalyse, Überlebenszeitanalyse.
• In der empirischen Sozialforschung ist die Methode als Verweildaueranalyse (auch: Verlaufsdatenanalyse, Ereignisanalyse) bekannt, wo sie sich mit Veränderungen in einem sozialen Zustand (z. B. Dauer der Ehe) beschäftigt. Sie liefert damit präzisere Beschreibungen von Verlaufsdaten als z. B. eine Zeitreihen- oder Paneldatenanalyse. Sie informiert anhand von ereignisorientierten Datenstrukturen über die genauen Zeitdauern bis zu einem Zustandswechsel.
• In den Ingenieurwissenschaften wird das Verfahren auch Zuverlässigkeitsanalyse genannt (englisch Reliability Theory).
• In englischsprachigen Programmpaketen wird sie als Survival Analysis, Analysis of Failure Times oder auch Event History Analysis bezeichnet.

Anwendungsbereiche

Dieses Verfahren kann immer eingesetzt werden, wenn eine Mortalität vorliegt, d. h. ein sukzessives Ausscheiden von Messobjekten aus der statistischen Erfassung. Es muss sich dabei nicht um den Tod handeln, sondern auch um den Ausfall mechanischer Systeme oder Eintritt in den Ruhestand. Auch beim Eintreten positiver Ereignisse, d. h. neuer Ereignisse für die es bisher keine Messgrundlage gab, kann das Verfahren angewendet werden. (Geburt des ersten Kindes, Auftreten erster technischer Probleme oder Garantiefälle)

Beispiele für eine Ereigniszeitanalyse: Welcher Anteil einer Population wird nach einer gegebenen Zeit noch leben? Mit welcher Rate werden die Überlebenden dann sterben? Welche Eigenschaften oder Einflüsse erhöhen oder verringern die Überlebenswahrscheinlichkeit?

Zuerst ist es notwendig, Ereigniszeit (Lebenszeit) zu definieren. Für biologische Systeme endet die Lebenszeit mit dem Tod. Schwieriger ist es mit der mechanischen Zuverlässigkeit. Ausfälle sind oft nicht klar definiert und können partiell sein. Oft ist es nur graduelles Versagen, das sich nicht so leicht zeitlich festlegen lässt. Ähnliche Schwierigkeiten treten bei anderen biologischen Ereignissen auf. Beispielsweise sind ein Herzanfall oder ein Organversagen schwierig zeitlich festzulegen.

Üblicherweise werden nur Ereignisse untersucht, die höchstens einmal pro Subjekt auftreten können. Eine Erweiterung auf wiederholt auftretende Ereignisse ist möglich.

Grundlegende Größen und Konzepte

Überlebensfunktion

→ Hauptartikel: Überlebensfunktion

Die zentrale Funktion ist die Überlebensfunktion (englisch Survival Function, Survivor Function) und wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} bezeichnet. Im Bereich technischer Systeme wird für diese Funktion die Bezeichnung Zuverlässigkeitsfunktion (englisch Reliability Function) verwendet und mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R(t)} bezeichnet:

$S(t)=R(t)=P(T>t)$

dabei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} bestimmte Zeitpunkte, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} repräsentiert die Lebenszeit (die Zeit bis zum Tod bzw. zum Ausfall eines Geräts), und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} bezeichnet die Wahrscheinlichkeit. Die Überlebensfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Individuum der Population eine Lebenszeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} länger bzw. größer als $t$ haben wird.

Da zu Beginn einer Analyse (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = 0} ) alle interessierenden Individuen noch leben, ist die Wahrscheinlichkeit, diesen „nullten“ Zeitpunkt zu „überleben“ gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(0) = 1} . Falls ein sofortiger Tod oder Ausfall möglich ist, dann kann dieser Startwert auch kleiner als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} sein. Die Überlebensfunktion muss monoton fallend sein: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(u) \le S(t)} falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u > t} . Ist diese Funktion bekannt, dann sind auch die Verteilungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} und die Dichtefunktion $f$ eindeutig definiert.

Üblicherweise geht man davon aus, dass mit zunehmender Zeit die Wahrscheinlichkeit, den jeweiligen Zeitpunkt zu überleben, gegen Null geht, d. h.: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{t\to\infty}S(t)=0} . Ein Grenzwert größer als Null würde "ewiges Leben" implizieren. Anders ausgedrückt sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} und $S(t)$ sind gegenläufig. Je mehr Zeit vergeht, desto wahrscheinlicher wird das Eintreten eines bestimmten Ereignisses. Die Überlebensfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(t)} beginnt als Funktion bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = 0} mit dem Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} , und strebt mit der Zeit zum Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} (wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} meistens nicht erreicht wird, da die Betrachtung zu einem bestimmten Zeitpunkt beendet wird). Grafisch kann man sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(t)} als von $1$ aus in Richtung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} abwärts führende Treppenfunktion vorstellen, also monoton fallend, wobei die einzelnen Stufen unterschiedlich steil bzw. breit sein können. Die Steilheit der Treppenstufen ergibt sich aus der Anzahl der sterbenden Individuen, und ihre Breite durch die Anzahl der vergangenen Zeitpunkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} . Je breiter und flacher solche Treppenstufen sind, desto höher ist die Überlebenswahrscheinlichkeit der Individuen.

Ereigniszeit-Verteilungsfunktion und Ereignisdichtefunktion

Aus der Überlebensfunktion lassen sich verwandte Größen ableiten. Die Ereigniszeit-Verteilungsfunktion, in technischen Bezug auch als Ausfallswahrscheinlichkeit (englisch Probability of failure) bezeichnet und mit F abgekürzt, ist die komplementäre Funktion zur Überlebensfunktion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(t) = P(T \le t) = 1 - S(t)}

und daher gilt auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(t) = 1 - F(t)} . Die erste Ableitung von $F$, die Ereignisdichtefunktion oder Ausfallsdichte (englisch failure density function), wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} bezeichnet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t) = \frac{\mathrm d F(t)}{\mathrm dt}} .

Die Ereignisdichtefunktion ist die Rate des betrachteten Ereignisses pro Zeiteinheit.

Hazardfunktion und kumulierte Hazardfunktion

Die Ausfallrate, (speziell in der Überlebenszeitanalyse auch Hazardfunktion genannt und mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(t)} bezeichnet) ist definiert als Rate, mit der ein Ereignis zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} eintritt unter der Voraussetzung, dass es bis zum Zeitpunkt t noch nicht eingetreten ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(t)\,\mathrm dt = P(t < T < t+\mathrm dt\,\mid \,T > t) = \frac{f(t)\,\mathrm dt}{S(t)} = -\frac{S'(t)\,\mathrm dt}{S(t)}} .

englisch force of mortality ist ein Synonym für die Hazardfunktion welches speziell in der Demografie verwendet wird.

Die Ausfallrate muss stets positiv sein, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(t)>0} und das Integral über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,\infty)} muss unendlich sein. Die Hazardfunktion kann anwachsen oder fallen, sie braucht weder monoton noch stetig zu sein.

Alternativ kann die Hazardfunktion auch durch die kumulative Hazardfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} ersetzt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(t) = -\ln S(t)\,} ,

damit ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\rm d}{\rm d t} H(t) = -\frac{S'(t)}{S(t)} = h(t)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} heißt kumulative Hazardfunktion da

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(t) = \int_0^t h(s) \, \mathrm{d} s } gilt.

Sie beschreibt die „Ansammlung“ von Hazard (Risiko) im Laufe der Zeit.

Aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(t) = -\ln S(t)} folgt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(t)} mit wachsender Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} unbegrenzt wächst falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(t)} gegen Null geht. Weiter folgt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(t)} nicht zu stark fallen darf, weil sonst die kumulierte Hazardfunktion gegen einen endlichen Wert konvergiert. Beispielsweise ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{-t}} keine Hazardfunktion irgendeiner Ereigniszeitverteilung, da das Integral konvergiert.

Aus der Überlebensfunktion abgeleitete Größen

Die verbleibende Lebenszeit zu einem Zeitpunkt t₀ ist die bis zum Tod bzw. Ausfall verbleibende Zeit, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T-t_0} . Die zukünftige Lebenserwartung ist der Erwartungswert der verbleibenden Lebenszeit. Die Ereignisdichtefunktion für den Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t + t_0} unter der Voraussetzung des Überlebens bis $t_{0}$ ist gerade

${\frac {f(t+t_{0})}{S(t_{0})}}$.

Damit ist die zukünftige Lebenserwartung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{S(t_0)} \int_0^{\infty} t\,f(t+t_0)\,\mathrm dt} oder

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{S(t_0)} \int_{t_0}^{\infty} S(t)\,\mathrm dt} .

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_0 = 0} reduziert sich dies auf die Lebenserwartung bei der Geburt.

In Zuverlässigkeitsanalysen wird die Lebenserwartung (Mean Time To Failure) und die mittlere Restlebenszeit genannt.

Das Alter, in dem der Anteil der Überlebenden einen vorgegebenen Wert q erreicht, kann man über die Gleichung S(t) = q ermitteln. t ist das gesuchte Quantil. Meist ist man an Größen wie dem Median der Lebensdauer q = 1/2 oder anderen Quantilen wie q = 0,90 oder q = 0,99 interessiert.

Zusammenhang

In folgender Darstellung ist tabellarisch der mathematische Zusammenhang zwischen den verschiedenen Kenngrößen dargestellt:

	Ausfallwahrscheinlichkeit F(t)	Überlebenswahrscheinlichkeit S(t)	Ausfalldichte f(t)	Ausfallrate h(t)
F(t)		Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 - S(t)}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int\limits_{0}^{t}f(\tau)\mathrm d\tau}	$1-e^{-\int \limits _{0}^{t}h(\tau )d\tau }$
S(t)	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 - F(t)}		Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int\limits_{t}^{\infty}f(\tau)\mathrm d\tau}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{-\int\limits_{0}^{t}h(\tau)\mathrm d\tau}}
f(t)	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm dF(t)}{\mathrm dt}}	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} S(t)}{\mathrm {d} t}}}		Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h(t) \cdot e^{-\int\limits_{0}^{t}h(\tau)\mathrm d\tau}}
h(t)	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{1 - F(t)} \cdot \frac{\mathrm dF(t)}{\mathrm dt}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\frac{1}{S(t)} \cdot \frac{\mathrm dS(t)}{\mathrm dt}}	Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {f(t)}{\int \limits _{t}^{\infty }f(\tau )d\tau }}}

Beispiele für Überlebensfunktionen

Für Ereigniszeitmodelle wählt man zuerst eine grundlegende Überlebensfunktion aus. Es ist relativ einfach eine Verteilungsfunktion durch eine andere zu ersetzen um die Auswirkungen zu studieren. An der grundlegenden Theorie ändert sich nichts.

Bei der Wahl der konkreten Verteilung spielen Vorkenntnisse über den konkreten Prozess eine große Rolle. Es ist in etwa analog zur Auswahl der Kopplungsfunktion in verallgemeinerten linearen Modellen. Einige häufig verwendete Funktionen sind im Folgenden aufgelistet.

Wahrscheinlichkeitsverteilung	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(t)}
Exponentialverteilung	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{-\lambda t}}
Weibull-Verteilung	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{-(t/\lambda)^k}}
Log-Normalverteilung	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2}\left(1-\operatorname{erf}\left[\frac{\ln(t)-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right]\right)}

Bei der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{erf}(z)} handelt es sich um die Fehlerfunktion.

Schätzen der Parameter

Ereigniszeitmodelle kann man als normale Regressionsmodelle betrachten in der die Ergebnisvariable die Zeit ist. Die Berechnung der Likelihood-Funktion ist kompliziert, da nicht zu jeder Zeit alle Informationen zur Verfügung stehen.

Wenn Geburt und Tod bekannt sind, dann ist in diesem Fall der Lebensverlauf eindeutig. Wenn man dagegen nur weiß, dass die Geburt vor einem bestimmten Zeitpunkt stattfand, dann nennt man diesen Datensatz links zensiert. Genauso könnte nur bekannt sein, dass der Tod nach einem bestimmten Datum eintrat. Das ist dann ein rechts zensierter Datensatz. Ein Lebenslauf kann auf diese Weise auch rechts und links zensiert sein (intervallzensiert). Falls eine Person die ein bestimmtes Alter nicht erreicht, überhaupt nicht beobachtet wird, dann ist der Datensatz abgeschnitten (engl.: truncated). Bei einem links zensierten Datensatz wissen wir dagegen zumindest, dass das Individuum existierte.

Es gibt einige Standardfälle für zensierte und abgeschnittene Datensätze. Üblich ist ein rechts zensierter Datensatz. Betrachten wir eine Gruppe lebender Subjekte, dann wissen wir, dass sie heute am Leben sind. Wir wissen aber nicht ihren in der Zukunft liegenden Todestag. Links zensierte Daten sind auch üblich. Wir könnten für jedes Subjekt wissen, dass es heute lebt, aber wir kennen nicht den genauen Geburtstag. Abgeschnittene Daten treten in Studien mit verzögertem Anfang auf. Rentner könnten beispielsweise ab dem Alter 70 Jahre beobachtet werden. Über die Personen die vorher gestorben sind, ist nicht einmal deren Existenz bekannt.

Die Likelihood-Funktion für ein Ereigniszeitmodell mit zensierten Daten kann wie folgt definiert werden. Definitionsgemäß ist die Likelihood-Funktion die gemeinsame Wahrscheinlichkeit der Daten bei vorgegebenen Modellparametern. Es ist üblich anzunehmen, dass die Daten unabhängig von den Parametern sind. Dann ist die Likelihood-Funktion das Produkt der Wahrscheinlichkeiten für jede Ereigniszeit. Wir teilen die Daten in vier Kategorien ein: unzensierte, links zensierte, rechts zensierte und intervallzensierte Daten. Wir unterscheiden sie in den Formeln mit „unz.“, „l.z.“, „r.z.“ und „i.z.“:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L(\theta) = \prod_{t_i\in \text{unz.}} P(T = t_i\mid \theta) \prod_{t_i\in \text{l.z.}} P(T < t_i\mid \theta) \prod_{t_i\in \text{r.z.}} P(T > t_i\mid \theta) \prod_{t_i\in \text{i.z.}} P(t_{i,l} < T < t_{i,r}\mid \theta) }

Für eine unzensierte Ereigniszeit mit dem Todesalter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_i} verwenden wir

$P(T=t_{i}\mid \theta )=f(t_{i}\mid \theta )$.

Für links zensierte Daten wissen wir nur, dass der Tod vor einer Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_i} eintrat

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(T < t_i\mid \theta) = F(t_i\mid \theta) = 1 - S(t_i\mid \theta) } .

Für ein rechts zensiertes Individuum wissen wir, dass der Tod nach der Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_i} eintritt, also ist

$P(T>t_{i}\mid \theta )=S(t_{i}\mid \theta )$

Und für intervallzensierte Ereignisse wissen wir, dass der Tod zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{i,r}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{i,l}} eintritt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(t_{i,l} < T < t_{i,r}\mid\theta) = S(t_{i,l}\mid\theta) - S(t_{i,r}\mid\theta) }

Siehe auch

• Zensierte Daten

Literatur

• Hans-Peter Blossfeld, Götz Rohwer, Katrin Golsch: Event History Analysis with Stata. Lawrence Erlbaum Associates, Mahwah, N.J. 2007.
• Regina Elandt-Johnson, Norman Johnson. Survival Models and Data Analysis. John Wiley & Sons, New York 1980/1999.
• Wolfgang Ludwig-Mayerhofer: Statistische Modellierung von Verlaufsdaten in der Analyse sozialer Probleme. In: Soziale Probleme. Nr. 5/6, 1994.
• Mario Cleves u. a.: An Introduction to Survival Analysis Using Stata. 3. Auflage. Stata Press, 2010.
• Jerald F. Lawless: Statistical Models and Methods for Lifetime Data. 2. Auflage. John Wiley and Sons, Hoboken 2003.
• Melinda Mills: Introducing Survival and Event History Analysis. Sage Publications, 2011.
• Terry Therneau: A Package for Survival Analysis in S. Feb 1999. (online)
• Arno Meyna, Bernhard Pauli: Zuverlässigkeitstechnik. Quantitative Bewertungsverfahren. 2. Auflage. Hanser, 2010, ISBN 978-3-446-41966-7. 

Weblinks

• Verweildaueranalyse – Eintrag im ILMES (Internet-Lexikon der Methoden der empirischen Sozialforschung)
• A. Ziegler, S. Lange, R. Bender: Überlebenszeitanalyse: Eigenschaften und Kaplan-Meier Methode – Artikel Nr. 15 der Statistik-Serie in der DMW. In: DMW – Deutsche Medizinische Wochenschrift. 127, S. T 14, doi:10.1055/s-2002-32819.