In der Algebra ist die Sylvestermatrix zu zwei Polynomen eine spezielle mit den Koeffizienten der Polynome besetzte Matrix, deren Determinante die Resultante der Polynome ergibt. Sie ist nach dem britischen Mathematiker James J. Sylvester benannt.
Definition
Sei
ein kommutativer Ring. Für zwei Polynome
und
aus dem Polynomring
mit
und ![{\displaystyle g=\sum _{i=0}^{n}g_{i}X^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9026006049c7c4a1acb035c3e3c5dddd02293110)
vom Grad
heißt die quadratische
-Matrix
![{\displaystyle \operatorname {Syl} (f,g)={\begin{pmatrix}f_{m}&&\cdots &&f_{0}&&&\\&f_{m}&&\cdots &&f_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&f_{m}&&\cdots &&f_{0}\\g_{n}&&\cdots &&g_{0}&&&\\&g_{n}&&\cdots &&g_{0}&&\\&&\ddots &&&&\ddots &\\&&&g_{n}&&\cdots &&g_{0}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d080cadbf547ebcf72b4c5158f7e754c4edb4778)
die Sylvestermatrix zu
und
. In der Darstellung sind nicht spezifizierte Koeffizienten als Null zu verstehen.
Eigenschaften
Für
sei
die Matrix, die aus der Sylvestermatrix durch Streichung der letzten
Zeilen von
-Koeffizienten, der letzten
Zeilen von
-Koeffizienten sowie der letzten
Spalten mit Ausnahme der
-ten hervorgeht. Das Polynom
![{\displaystyle S_{j}(f,g)=\sum _{i=0}^{j}\left(\det M_{ji}\right)\,X^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894fa3ea743e504f504fe3a3faa73426baeced24)
ist dann die
-te Subresultante von
und
; ihr Leitkoeffizient
![{\displaystyle \operatorname {psc} _{j}(f,g)=\det M_{jj}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f487055a6de5a140f5eb90abb9b29ea8f92aa4bb)
ist der
-te Hauptsubresultantenkoeffizient. Der
-te Hauptsubresultantenkoeffizient
![{\displaystyle \operatorname {res} (f,g)=\det \operatorname {Syl} (f,g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c23284596eb969cd68acfa169ffe6ff3c1ce19e7)
schließlich ist die Resultante von
und
.
Bedeutung
Die Hauptsubresultantenkoeffizienten haben eine wichtige Bedeutung als „Gradmesser“ des größten gemeinsamen Teilers von Polynomen: Der Grad von
für zwei Polynome ungleich 0 über einem kommutativen faktoriellen Integritätsring ist genau das kleinste
mit
.