Symmetrische Carlson-Form

In der Mathematik sind die symmetrischen Carlson-Formen der elliptischen Integrale eine kleine kanonische Menge von elliptischen Integralen, auf die alle anderen reduziert werden können. Sie sind eine moderne Alternative zu den Legendre-Formen. Die Legendre-Formen können in Carlson-Formen ausgedrückt werden und umgekehrt.

Die elliptischen Carlson-Integrale sind:

$R_{F}(x,y,z)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}$

$R_{J}(x,y,z,p)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{(t+p){\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}$

$R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{(t+y){\sqrt {(t+x)}}}}$

$R_{D}(x,y,z)=R_{J}(x,y,z,z)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{(t+z)\,{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}$

Da $R_{C}$ und $R_{D}$ Sonderfälle von $R_{F}$ und $R_{J}$ sind, können alle elliptischen Integrale letztlich durch $R_{F}$ und $R_{J}$ dargestellt werden.

Der Begriff symmetrisch bezieht sich auf die Tatsache, dass diese Funktionen im Gegensatz zu den Legendre-Formen durch Vertauschung bestimmter Funktionsargumente unverändert bleiben. Der Wert von $R_{F}(x,y,z)$ ist derselbe für jede Permutation der Argumente, und der Wert von $R_{J}(x,y,z,p)$ ist derselbe für jede Permutation der ersten drei Argumente.

Die elliptischen Carlson-Integrale sind nach Bille C. Carlson benannt.

Zusammenhang mit den Legendre-Formen

Unvollständige elliptische Integrale

Unvollständige elliptische Integrale können mit Hilfe der symmetrischen Carlson-Formen leicht berechnet werden:

$F(\phi ,k)=\sin \phi \;R_{F}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1)$

$E(\phi ,k)=\sin \phi \;R_{F}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1)-{\tfrac {1}{3}}{k^{2}\sin ^{3}}\phi \;R_{D}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1)$

$\Pi (\phi ,n,k)=\sin \phi \;R_{F}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1)+{\tfrac {1}{3}}{n\sin ^{3}}\phi \;R_{J}({\cos ^{2}}\phi ,1-{k^{2}\sin ^{2}}\phi ,1,1-{n\sin ^{2}}\phi )$

(Anmerkung: dies gilt nur für $0\leq \phi \leq 2\pi$ und $0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1$)

Die Carlson-Formen werden folgendermaßen durch die Legendre-Formen dargestellt:

$R_{F}(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {z-x}}}F\left[\arcsin \left({\sqrt {\frac {z-x}{z}}}\,\right),{\sqrt {\frac {z-y}{z-x}}}\,\right]$

Dabei gilt 0 < x < y < z als Bedingung.

Vollständige elliptische Integrale

Vollständige elliptischen Integrale können durch Einsetzen von φ = π/2 berechnet werden:

$K(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)$

$E(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}R_{D}\left(0,1-k^{2},1\right)$

$\Pi (n,k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-k^{2},1,1-n\right)$

Spezialfälle

Wenn zwei beliebige oder alle drei Argumente von $R_{F}$ identisch sind, dann macht die Substitution ${\sqrt {t+x}}=u$ den Integranden rational. Das Integral kann dann durch elementare transzendente Funktionen ausgedrückt werden.

$R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{{\sqrt {t+x}}\,(t+y)}}=\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{u^{2}-x+y}}={\begin{cases}{\frac {\textstyle \arccos \scriptstyle {\sqrt {\frac {x}{y}}}}{\sqrt {y-x}}},&x<y\\{\frac {1}{\sqrt {y}}},&x=y\\{\frac {\textstyle \operatorname {arccosh} \scriptstyle {\sqrt {\frac {x}{y}}}}{\sqrt {x-y}}},&x>y\\\end{cases}}$

Ähnlich verhält es sich, wenn mindestens zwei der ersten drei Argumente von $R_{J}$ identisch sind,

$R_{J}(x,y,y,p)=3\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} u}{(u^{2}-x+y)(u^{2}-x+p)}}={\begin{cases}{\frac {3}{p-y}}(R_{C}(x,y)-R_{C}(x,p)),&y\neq p\\{\frac {3}{2(y-x)}}\left(R_{C}(x,y)-{\frac {1}{y}}{\sqrt {x}}\right),&y=p\neq x\\{\frac {1}{y^{3/2}}},&y=p=x\\\end{cases}}$

Eigenschaften

Homogenität

Wenn man in die Integraldefinitionen jede Konstante $\kappa$ durch $t=\kappa u$ ersetzt, stellt man fest, dass

$R_{F}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z\right)=\kappa ^{-1/2}R_{F}(x,y,z)$

$R_{J}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z,\kappa p\right)=\kappa ^{-3/2}R_{J}(x,y,z,p)$

Duplikationssatz

$R_{F}(x,y,z)=2R_{F}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda )=R_{F}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}}\right),$

mit $\lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}$.

${\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=2R_{J}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda ,p+\lambda )+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\\&={\frac {1}{4}}R_{J}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}},{\frac {p+\lambda }{4}}\right)+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\ ,\end{aligned}}$

mit $d=({\sqrt {p}}+{\sqrt {x}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {y}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {z}})$ and $\lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}$.

Reihenentwicklung

Um eine Taylorreihe für $R_{F}$ oder $R_{J}$ zu erhalten, erweist es sich als praktisch, um den Mittelwert aller Argumente zu entwickeln. Für $R_{F}$ sei der Mittelwert der Argumente also $A=(x+y+z)/3$, und unter Verwendung der Homogenität werden $\Delta x$, $\Delta y$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta z} definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}R_{F}(x,y,z) & = R_{F}(A\cdot(1 - \Delta x),A\cdot(1 - \Delta y),A\cdot(1 - \Delta z)) \\ & = \frac{1}{\sqrt{A}} R_{F}(1 - \Delta x,1 - \Delta y,1 - \Delta z) \end{align}}

d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta x = 1 - x/A} usw. Die Differenzen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta z} werden mit diesem Vorzeichen definiert (so dass sie subtrahiert werden), um mit Carlsons Veröffentlichungen überein zu stimmen. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_{F}(x,y,z)} unter der Permutation von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} symmetrisch ist, sie ist auch symmetrisch in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta z} . Daraus folgt, dass sowohl der Integrand von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_{F}} , als auch sein Integral als Funktionen der Elementarsymmetrischen Polynome in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta z} ausgedrückt werden können, das sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_1 = \Delta x + \Delta y + \Delta z = 0}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_2 = \Delta x \Delta y + \Delta y \Delta z + \Delta z \Delta x}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_3 = \Delta x \Delta y \Delta z} .

Den Integranden durch diese Polynome ausgedrückt, eine mehrdimensionale Taylorentwicklung durchgeführt und Term für Term integriert, ergibt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}R_{F}(x,y,z) & = \frac{1}{2 \sqrt{A}} \int _{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{(t + 1)^{3} - (t + 1)^{2} E_1 + (t + 1) E_2 - E_3}}\,\mathrm{d}t \\ & = \frac{1}{2 \sqrt{A}} \int _{0}^{\infty}\left( \frac{1}{(t + 1)^{3/2}} - \frac{E_2}{2 (t + 1)^{7/2}} + \frac{E_3}{2 (t + 1)^{9/2}} + \frac{3 E_2^{2}}{8 (t + 1)^{11/2}} - \frac{3 E_2 E_3}{4 (t + 1)^{13/2}} + O(E_1) + O(\Delta^{6})\right) \mathrm{d}t \\ & = \frac{1}{\sqrt{A}} \left( 1 - \frac{1}{10} E_2 + \frac{1}{14} E_3 + \frac{1}{24} E_2^{2} - \frac{3}{44} E_2 E_3 + O(E_1) + O(\Delta^{6})\right) \end{align}}

Der Vorteil der Entwicklung um den Mittelwert der Argumente offenbart sich jetzt; sie reduziert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_1} auf Null und eliminiert damit alle Terme mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_1} , die sonst am zahlreichsten wären.

Eine aufsteigende Reihe für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_{J}} kann auf ähnliche Weise gefunden werden. Es gibt eine kleine Schwierigkeit, weil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_{J}} nicht vollständig symmetrisch ist; seine Abhängigkeit vom vierten Argument, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} , unterscheidet sich von der Abhängigkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} . Dies wird dadurch überwunden, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_{J}} als eine vollsymmetrische Funktion von fünf Argumenten behandelt wird, von denen nun zwei den gleichen Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} haben. Der Mittelwert der Argumente wird daher

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \frac{x + y + z + 2 p}{5}} .

und die Differenzen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta y} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta z} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta p} definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}R_{J}(x,y,z,p) & = R_{J}(A (1 - \Delta x),A (1 - \Delta y),A (1 - \Delta z),A (1 - \Delta p)) \\ & = \frac{1}{A^{3/2}} R_{J}(1 - \Delta x,1 - \Delta y,1 - \Delta z,1 - \Delta p) \end{align}}

Die Elementarsymmetrischen Polynome von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta y} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta z} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta p} und (nochmal) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta p} sind insgesamt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_1 = \Delta x + \Delta y + \Delta z + 2 \Delta p = 0}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_2 = \Delta x \Delta y + \Delta y \Delta z + 2 \Delta z \Delta p + \Delta p^{2} + 2 \Delta p \Delta x + \Delta x \Delta z + 2 \Delta y \Delta p}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_3 = \Delta z \Delta p^{2} + \Delta x \Delta p^{2} + 2 \Delta x \Delta y \Delta p + \Delta x \Delta y \Delta z + 2 \Delta y \Delta z \Delta p + \Delta y \Delta p^{2} + 2 \Delta x \Delta z \Delta p}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{4} = \Delta y \Delta z \Delta p^{2} + \Delta x \Delta z \Delta p^{2} + \Delta x \Delta y \Delta p^{2} + 2 \Delta x \Delta y \Delta z \Delta p}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{5} = \Delta x \Delta y \Delta z \Delta p^{2}}

Es ist jedoch möglich, die Formeln für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_2} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_3} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{4}} zu vereinfachen, indem man die Tatsache benutzt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_1 = 0} . Den Integranden durch diese Polynome ausgedrückt, eine mehrdimensionale Taylorentwicklung durchgeführt und Term für Term integriert, wie zuvor, ergibt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}R_{J}(x,y,z,p) & = \frac{3}{2 A^{3/2}} \int _{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{(t + 1)^{5} - (t + 1)^{4} E_1 + (t + 1)^{3} E_2 - (t + 1)^{2} E_3 + (t + 1) E_{4} - E_{5}}} \,\mathrm{d}t \\ & = \frac{3}{2 A^{3/2}} \int _{0}^{\infty}\left( \frac{1}{(t + 1)^{5/2}} - \frac{E_2}{2 (t + 1)^{9/2}} + \frac{E_3}{2 (t + 1)^{11/2}} + \frac{3 E_2^{2} - 4 E_{4}}{8 (t + 1)^{13/2}} + \frac{2 E_{5} - 3 E_2 E_3}{4 (t + 1)^{15/2}} + O(E_1) + O(\Delta^{6})\right) \mathrm{d}t \\ & = \frac{1}{A^{3/2}} \left( 1 - \frac{3}{14} E_2 + \frac{1}{6} E_3 + \frac{9}{88} E_2^{2} - \frac{3}{22} E_{4} - \frac{9}{52} E_2 E_3 + \frac{3}{26} E_{5} + O(E_1) + O(\Delta^{6})\right) \end{align}}

Wie bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_{J}} werden durch die Entwicklung um den Mittelwert der Argumente mehr als die Hälfte der Terme (diejenigen, die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_1} enthalten) eliminiert.

Negative Argumente

Im Allgemeinen dürfen die Argumente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} von Carlsons Integralen nicht reell und negativ sein, da dies einen Verzweigungspunkt auf dem Integrationspfad erzeugen würde, was das Integral mehrdeutig machen würde. Wenn jedoch das zweite Argument von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_C} oder das vierte Argument Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_J} negativ ist, dann ergibt sich eine einfache Polstelle auf dem Integrationspfad. In diesen Fällen kann der Cauchysche Hauptwert (der endliche Teil) der Integrale von Interesse sein; dies sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{p.v.}\; R_C(x, -y) = \sqrt{\frac{x}{x + y}}\,R_C(x + y, y),}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}\mathrm{p.v.}\; R_{J}(x,y,z,-p) & = \frac{(q - y) R_{J}(x,y,z,q) - 3 R_{F}(x,y,z) + 3 \sqrt{y} R_{C}(x z,- p q)}{y + p} \\ & = \frac{(q - y) R_{J}(x,y,z,q) - 3 R_{F}(x,y,z) + 3 \sqrt{\frac{x y z}{x z + p q}} R_{C}(x z + p q,p q)}{y + p} \end{align}}

wobei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q = y + \frac{(z - y) (y - x)}{y + p}}

größer als Null sein muss, damit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_{J}(x,y,z,q)} ausgewertet werden kann. Dies kann erreicht werden, indem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} so permutiert werden, dass der Wert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} zwischen dem von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} liegt.

Numerische Auswertung

Der Duplikationssatz kann für eine schnelle und robuste Auswertung der symmetrischen Carlson-Formen von elliptischen Integralen verwendet werden, und damit auch für die Auswertung der Legendre-Form der elliptischen Integrale. Zur Berechnung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_F(x,y,z)} definieren wir zunächst Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0=x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_0=y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_0=z} . Dann wird die Reihe iteriert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_n=\sqrt{x_n}\sqrt{y_n}+\sqrt{y_n}\sqrt{z_n}+\sqrt{z_n}\sqrt{x_n},}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{n+1}=\frac{x_n+\lambda_n}{4}, y_{n+1}=\frac{y_n+\lambda_n}{4}, z_{n+1}=\frac{z_n+\lambda_n}{4}}

bis die gewünschte Präzision erreicht ist: Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} nicht negativ sind, konvergieren alle Reihen schnell zu einem bestimmten Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} . Damit ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_F\left(x,y,z\right)=R_F\left(\mu,\mu,\mu\right)=\mu^{-1/2}.}

Die Auswertung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_C(x,y)} erfolgt ebenso mit Hilfe der Beziehung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_C\left(x,y\right)=R_F\left(x,y,y\right).}

Literatur

• B. C. Carlson, John L. Gustafson: Asymptotic approximations for symmetric elliptic integrals. In: OP-SF 7. 1993. arxiv:math/9310223v1.
• B. C. Carlson: 'Elliptic Integrals:Symmetric Integrals' in Chap. 19 of Digital Library of Mathematical Functions. National Institute of Standards and Technology. 7. Mai 2010.
• Fortran Code aus SLATEC zur Auswertung von RF, RJ, RC, RD,