Symmetrische Carlson-Form

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In der Mathematik sind die symmetrischen Carlson-Formen der elliptischen Integrale eine kleine kanonische Menge von elliptischen Integralen, auf die alle anderen reduziert werden können. Sie sind eine moderne Alternative zu den Legendre-Formen. Die Legendre-Formen können in Carlson-Formen ausgedrückt werden und umgekehrt.

Die elliptischen Carlson-Integrale sind:

Da und Sonderfälle von und sind, können alle elliptischen Integrale letztlich durch und dargestellt werden.

Der Begriff symmetrisch bezieht sich auf die Tatsache, dass diese Funktionen im Gegensatz zu den Legendre-Formen durch Vertauschung bestimmter Funktionsargumente unverändert bleiben. Der Wert von ist derselbe für jede Permutation der Argumente, und der Wert von ist derselbe für jede Permutation der ersten drei Argumente.

Die elliptischen Carlson-Integrale sind nach Bille C. Carlson[1] benannt.

Zusammenhang mit den Legendre-Formen

Unvollständige elliptische Integrale

Unvollständige elliptische Integrale können mit Hilfe der symmetrischen Carlson-Formen leicht berechnet werden:

(Anmerkung: dies gilt nur für und )

Die Carlson-Formen werden folgendermaßen durch die Legendre-Formen dargestellt:

Dabei gilt 0 < x < y < z als Bedingung.

Vollständige elliptische Integrale

Vollständige elliptischen Integrale können durch Einsetzen von φ = π/2 berechnet werden:

Spezialfälle

Wenn zwei beliebige oder alle drei Argumente von identisch sind, dann macht die Substitution den Integranden rational. Das Integral kann dann durch elementare transzendente Funktionen ausgedrückt werden.

Ähnlich verhält es sich, wenn mindestens zwei der ersten drei Argumente von identisch sind,

Eigenschaften

Homogenität

Wenn man in die Integraldefinitionen jede Konstante durch ersetzt, stellt man fest, dass

Duplikationssatz

mit .

[2]

mit and .

Reihenentwicklung

Um eine Taylorreihe für oder zu erhalten, erweist es sich als praktisch, um den Mittelwert aller Argumente zu entwickeln. Für sei der Mittelwert der Argumente also , und unter Verwendung der Homogenität werden , und definiert durch

d. h. usw. Die Differenzen , und werden mit diesem Vorzeichen definiert (so dass sie subtrahiert werden), um mit Carlsons Veröffentlichungen überein zu stimmen. Da unter der Permutation von , und symmetrisch ist, sie ist auch symmetrisch in , und . Daraus folgt, dass sowohl der Integrand von , als auch sein Integral als Funktionen der Elementarsymmetrischen Polynome in , und ausgedrückt werden können, das sind

.

Den Integranden durch diese Polynome ausgedrückt, eine mehrdimensionale Taylorentwicklung durchgeführt und Term für Term integriert, ergibt

Der Vorteil der Entwicklung um den Mittelwert der Argumente offenbart sich jetzt; sie reduziert auf Null und eliminiert damit alle Terme mit , die sonst am zahlreichsten wären.

Eine aufsteigende Reihe für kann auf ähnliche Weise gefunden werden. Es gibt eine kleine Schwierigkeit, weil nicht vollständig symmetrisch ist; seine Abhängigkeit vom vierten Argument, , unterscheidet sich von der Abhängigkeit von , und . Dies wird dadurch überwunden, dass als eine vollsymmetrische Funktion von fünf Argumenten behandelt wird, von denen nun zwei den gleichen Wert haben. Der Mittelwert der Argumente wird daher

.

und die Differenzen , , und definiert durch

Die Elementarsymmetrischen Polynome von , , , und (nochmal) sind insgesamt

Es ist jedoch möglich, die Formeln für , und zu vereinfachen, indem man die Tatsache benutzt, dass . Den Integranden durch diese Polynome ausgedrückt, eine mehrdimensionale Taylorentwicklung durchgeführt und Term für Term integriert, wie zuvor, ergibt

Wie bei werden durch die Entwicklung um den Mittelwert der Argumente mehr als die Hälfte der Terme (diejenigen, die enthalten) eliminiert.

Negative Argumente

Im Allgemeinen dürfen die Argumente , und von Carlsons Integralen nicht reell und negativ sein, da dies einen Verzweigungspunkt auf dem Integrationspfad erzeugen würde, was das Integral mehrdeutig machen würde. Wenn jedoch das zweite Argument von oder das vierte Argument von negativ ist, dann ergibt sich eine einfache Polstelle auf dem Integrationspfad. In diesen Fällen kann der Cauchysche Hauptwert (der endliche Teil) der Integrale von Interesse sein; dies sind

und

wobei

größer als Null sein muss, damit ausgewertet werden kann. Dies kann erreicht werden, indem , und so permutiert werden, dass der Wert von zwischen dem von und liegt.

Numerische Auswertung

Der Duplikationssatz kann für eine schnelle und robuste Auswertung der symmetrischen Carlson-Formen von elliptischen Integralen verwendet werden, und damit auch für die Auswertung der Legendre-Form der elliptischen Integrale.[3] Zur Berechnung von definieren wir zunächst , und . Dann wird die Reihe iteriert

bis die gewünschte Präzision erreicht ist: Wenn , und nicht negativ sind, konvergieren alle Reihen schnell zu einem bestimmten Wert . Damit ist

Die Auswertung von erfolgt ebenso mit Hilfe der Beziehung

Literatur

Einzelnachweise

  1. 'Profile: Bille C. Carlson' in Digital Library of Mathematical Functions. National Institute of Standards and Technology.
  2. Bille C. Carlson: Numerical computation of real or complex elliptic integrals. In: Numerical Algorithms. 1994. arxiv:math/9409227v1.
  3. WH Press, SA Teukolsky, WT Vetterling, BP Flannery: Section 6.12. Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions. In: Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, 3rd. Auflage, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88068-8.