Symmetrische Komponenten

In der Elektrotechnik wird die Methode der Symmetrischen Komponenten verwendet, um eine vereinfachte Analyse durch symmetrische Teilsysteme bei asymmetrischen Mehrphasensystemen, üblicherweise Dreiphasensystemen, durchführen zu können. Dabei wird ein unsymmetrisch belastetes System von Phasoren in mehrere überlagerte Teilsysteme aufgeteilt. Bei den üblichen Dreiphasensystemen erfolgt die Aufteilung in ein symmetrisches Mitsystem, dessen Zeiger sich mit dem Drehfeld bewegen, ein Gegensystem mit gegenläufigem Drehfeld und in ein Nullsystem.

Die Methode der symmetrischen Komponenten stellt einen in Praxis bedeutenden Spezialfall der allgemeinen Modaltransformation und der Methode der modalen Komponenten dar und findet Anwendung unter anderem bei der Analyse von unsymmetrischen Fehlern in Drehstromsystemen und bei der Untersuchung von elektrischen Maschinen, insbesondere Mehrphasenmaschinen.

Historische Entwicklung

Charles Legeyt Fortescue zeigte in einer 1918 präsentierten Arbeit unter dem Titel englisch Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks, dass jedes unsymmetrisch belastete Drehstromsystem als Summe von drei symmetrischen Phasoren-Sets dargestellt werden kann. Diese Analyse wurde in Folge von Ingenieuren bei General Electric und Westinghouse aufgegriffen und verbessert. Nach dem Zweiten Weltkrieg wurde die Methode der symmetrischen Komponenten zu einem allgemeinen Verfahren zur Analyse asymmetrischer Fehler ausgebaut.

Methode

Jedes unsymmetrische Phasorenset, das sich nicht zu null addiert, kann in ein unsymmetrisches Set, das sich zu null addiert und ein System gleicher Phasoren eindeutig aufgetrennt werden. Weiterhin kann jedes unsymmetrische, jedoch zu null addierende Set von Phasoren in zwei symmetrische Sets gegenläufiger Umlaufrichtung der Drehfelder unterteilt werden. Somit ist immer eine eindeutige Aufteilung jedes beliebigen unsymmetrischen Phasorensets möglich. Das Verfahren ermöglicht beispielsweise bei einem symmetrisch gebauten Asynchronmotor, welcher asymmetrisch gespeist wird, in eine Überlagerung von zwei im Drehsinn gegenläufigen aber symmetrisch gespeisten Asynchronmotoren zu zerlegen.

Beispiel Zweiphasensystem

Datei:Symmetrical components two phase.svg

Unsymmetrisches Zweiphasensystem

Im einfachsten Fall liegt ein Zweiphasensystem, dargestellt aus zwei Phasoren A und B vor, wie in nebenstehender Skizze dargestellt. Dies lässt sich in zwei Teilsysteme zerlegen: das Mitsystem (englisch positive sequence component) in rot, es wird von den beiden Phasoren A_m und B_m gebildet, sein Drehfeld besitzt die gleiche Umlaufrichtung wie das ursprüngliche System. Das Gegensystem (englisch negative sequence component) ist in grün mit den beiden Phasoren A_g und B_g dargestellt, sein Drehfeld hat eine gegenläufige Richtung wie das ursprüngliche System. Die Phasoren in jedem Teilsystem weisen den gleichen Betrag auf und stehen im Zweiphasensystem normal aufeinander:

$A_{m}={\frac {A-\mathrm {j} B}{2}}$

$A_{g}={\frac {A+\mathrm {j} B}{2}}$

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_m = \mathrm{j}A_m}

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle B_{g}=-\mathrm {j} A_{g}}

mit j als die imaginäre Einheit.

Berechnung im Dreiphasensystem

Datei:Symmetrical components three phase.svg

Unsymmetrisches Dreiphasensystem (A,B und C) und seine symmetrischen Komponenten

Datei:Komplexe zeiger.png

geometrische Darstellung des komplexen Zeigers Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{a}}

Mit Hilfe der Koeffizientenmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} können die Phasoren im Dreiphasensystem der symmetrischen Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{I}_m} (Mitsystem), Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{I}_g} (Gegensystem), ${\underline {I}}_{0}$ (Nullsystem) aus den Leiterströmen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{I}_{L1}} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{I}_{L2}} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{I}_{L3}} des Drehstromsystems berechnet werden. Im Nullsystem (englisch zero sequence component) haben die Phasoren gleiche Richtung und gleiche Länge. Das Nullsystem tritt im asymmetrischen Dreiphasensystem auf und gleicht die "Nicht-Addition" des ursprünglichen Systems zu null aus.

Die elektrischen Ströme als physikalische Größe sind in den folgenden Gleichungen beispielhaft gewählt, die Methode der symmetrischen Komponenten lässt sich auf alle Größen wie elektrischen Spannungen oder magnetische Flüsse analog anwenden.

Der komplexe Zeiger Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{a}} ist ein Drehoperator zur Verknüpfung der Außenleiterströme. Die Multiplikation mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{a}} bedeutet eine Drehung um 120^o gegen den Uhrzeigersinn:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline a = e^{j120^{o}} = e^{j\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{a}^2 = e^{j240^{o}} = e^{j\frac{4\pi}{3}} = -\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{a}^3 = \underline{a}^0 = e^{j0^{o}} = {1} }

Des Weiteren gibt es folgende Theoreme:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{a}^4= \underline{a},\quad{1}+\underline{a}+\underline{a}^2={0},\quad\underline{a}^2= \underline{a}^{-1} }

Man erhält die Koeffizientenmatrix:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \underline a^2 & \underline a & 1 \\ \underline a & \underline a^2 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{-2\pi}{3}} & \mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{2\pi}{3}} & 1 \\ \mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{2\pi}{3}} & \mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{-2\pi}{3}} & 1 \end{pmatrix} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} \underline{I}_{1m}\\ \underline{I}_{1g}\\ \underline{I}_{10} \end{pmatrix} =T^{-1} \cdot \begin{pmatrix} \underline{I}_{L1}\\ \underline{I}_{L2}\\ \underline{I}_{L3} \end{pmatrix} =\frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 & \underline a & \underline a^2 \\ 1 & \underline a^2 & \underline a \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \underline{I}_{L1}\\ \underline{I}_{L2}\\ \underline{I}_{L3} \end{pmatrix} }

Daraus ergibt sich für das Mitsystem:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{I}_{1m}=\frac{1}{3}\cdot(\underline{I}_{L1}+\underline{I}_{L2}\cdot \underline a + \underline{I}_{L3}\cdot \underline a^2)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{I}_{2m}=\underline{I}_{1m}\cdot \underline a^2}

${\underline {I}}_{3m}={\underline {I}}_{1m}\cdot {\underline {a}}$

Für das Gegensystem gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{I}_{1g}=\frac{1}{3}\cdot(\underline{I}_{L1}+\underline{I}_{L2}\cdot \underline a^2 + \underline{I}_{L3}\cdot \underline a)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{I}_{2g}=\underline{I}_{1g}\cdot \underline a}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{I}_{3g}=\underline{I}_{1g}\cdot \underline a^2}

Und für das Nullsystem:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{I}_{10}=\frac{1}{3}\cdot(\underline{I}_{L1}+\underline{I}_{L2} + \underline{I}_{L3})}

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\underline {I}}_{20}={\underline {I}}_{10}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline{I}_{30}=\underline{I}_{10}}

Mit der Erweiterung einer einpoligen Darstellung, um die Mit-, Gegen- und Nullsysteme von Generatoren, Drehstromtransformatoren und anderen elektrischen Komponenten anzuzeigen, wird die Analyse von unbalancierten Umständen wie beispielsweise bei Erdschlüssen stark vereinfacht. Die Aufteilung in symmetrische Komponenten kann auch auf höhere Phasenordnungen ausgeweitet werden.

Weblinks

• Interaktive Website zur Zerlegung eines unsymmetrischen Dreiphasensystems. In: GeoGebra. Abgerufen am 23. Dezember 2020. 

Literatur

• Bernd R. Oswald: Berechnung von Drehstromnetzen – Berechnung stationärer und nichtstationärer Vorgänge mit Symmetrischen Komponenten und Raumzeigern. Vieweg + Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0617-8. 

Normen

• DIN EN 60909-0 (VDE 0102):2016-12 Kurzschlussströme in Drehstromnetzen - Teil 0: Berechnung der Ströme