Thomson-Problem

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Beim Thomson-Problem sollen n Elektronen so auf der Oberfläche einer Einheitskugel verteilt werden, dass das gesamte elektrostatische Potential, das sich durch die Coulombkraft einstellt, sein Minimum annimmt. Der Physiker Joseph John Thomson formulierte dieses Problem 1904[1], nachdem er sein Atommodell entwickelte.

Mathematisch ist es eines der Smale-Probleme.

Mathematische Beschreibung

Das elektrostatische Potential , das zwischen zwei Elektronen entsteht, kann mit dem coulombschen Gesetz beschrieben werden.

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}} .

Dabei sind und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e_j} die Ladungen der Elektronen, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_e} ist die Coulombkonstante (gegeben durch Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}} ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_0} ist die elektrische Feldkonstante) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_{ij}=|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j|} ist der Abstand der beiden Elektronen zueinander. Zur Vereinfachung des Problems können Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e_i=e_j=1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_e=1} gesetzt werden.

Bei einer Konfiguration von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} Elektronen stellt sich dann das Potential

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U(N) = \sum_{i < j} \frac{1}{r_{ij}}} .

ein. Ziel ist es nun, diejenige Form zu finden, bei der dieses Gesamtpotential ein Minimum annimmt. Das Finden einer Lösung geschieht meist durch numerische Verfahren.

Bekannte Lösungen

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N=1} : Für nur ein einziges Elektron ist die Lösung trivial, da sich, egal wo sich das Elektron auf der Kugeloberfläche befindet, immer dasselbe Potential einstellt.
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N=2} : Bei zwei Elektronen ist das Potentialminimum dann vorhanden, wenn sie sich diametral gegenüber befinden (z. B. Nord- und Südpol).
  • : Bei drei Elektronen bildet die Konfiguration ein gleichseitiges Dreieck auf einem Großkreis der Kugel.[2]
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N=4} : Die vier Elektronen bilden ein Tetraeder.
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N=5} : Für fünf Elektronen wurde 2010 ein computergestützter Beweis erbracht, wonach diese eine dreieckige Bipyramide bilden.[3]
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N=6} : Die sechs Elektronen bilden ein Oktaeder.[4]
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N=12} : Diese Konfiguration bildet ein regelmäßiges Ikosaeder.[5]

Verwandte wissenschaftliche Probleme

Das Problem von Thomson spielt eine Rolle in anderen physikalischen Modellen wie zum Beispiel Elektronenblasen oder die Oberflächenbeschaffenheit von flüssigen Metalltropfen in Paul-Fallen.

Literatur

  • Carlos Beltrán: The State of the Art in Smale's 7th Problem. In: Felipe Cucker, Teresa Krick, Allan Pinkus, Agnes Szanto (Hrsg.): Foundations of Computational Mathematics. Budapest 2011 (= London Mathematical Society. Lecture Note Series. 403). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2013, ISBN 978-1-107-60407-0, S. 1–15.
  • L. L. Whyte: Unique arrangements of points on a sphere. In: American Mathematical Monthly. Bd. 59, Nr. 9, 1952, S. 606–611, JSTOR 2306764.
  • Edward B. Saff, Arno B. J. Kuijlaars: Distributing many points on a sphere. In: The Mathematical Intelligencer. Bd. 19, Nr. 1, 1997, S. 5–11, doi:10.1007/BF03024331

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ Joseph J. Thomson: On the structure of the atom: an investigation of the stability and periods of oscillation of a number of corpuscles arranged at equal intervals around the circumference of a circle; with application of the results to the theory of atomic structure. In: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. Series 6, Bd. 7, Nr. 39, 1904, ZDB-ID 5450-1, S. 237–265, doi:10.1080/14786440409463107.
  2. ↑ Ludwig Föppl: Stabile Anordnungen von Elektronen im Atom. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Bd. 141, 1912, S. 251–302, (Digitalisat).
  3. ↑ Richard Evan Schwartz: The 5 Electron Case of Thomson’s Problem. In: Mathematical Physics. 21. Januar 2010, arxiv:1001.3702.
  4. ↑ V. A. Yudin: The minimum of potential energy of a System of point charges. In: Discrete Mathematics and Applications. Band 3, Nr. 1, 2009, S. 75–82, doi:10.1515/dma.1993.3.1.75.
  5. ↑ Nikolay N. Andreev: An extremal property of the icosahedron. In: East Journal on Approximations. Bd. 2, Nr. 4, 1996, ISSN 1310-6236, S. 459–462, MR 97m:52022, Zbl 0877.51021.
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