Tijs-Wert

Der Tijs-Wert (auch $\tau$-Wert genannt) ist ein Lösungskonzept der kooperativen Spieltheorie. Das Prinzip dieses Konzeptes ist eine Verhandlungssituation, bei der zunächst eine Obergrenze (Obervektor) sowie eine Untergrenze (Untervektor) bestimmt werden.

Obervektor

Der Vektor der Grenzbeiträge jedes Spielers zur großen Koalition bildet den Obervektor. Unter der großen Koalition versteht man dabei die aus allen Spielern bestehende Koalition. Für jeden Spieler Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\in N} , diese seien nummeriert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {1}} bis $n$, wird die Differenz zwischen dem Wert der großen Koalition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(N)} und dem Wert der großen Koalition abzüglich des Spielers Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(N\setminus\{i\})} berechnet. Dieser sogenannte Grenzbeitrag des Spielers Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} beschreibt die obere Grenze für die Auszahlung an eben jenen Spieler. Somit wird dem Spieler keine höhere Auszahlung gewährt, als sein Wertbeitrag zur großen Koalition.

In einem Spiel $\Gamma ({N},v)$ ist der Obervektor (auch Utopia-Vektor genannt) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=(b_1,b_2,...,b_n)^\mathrm{T}} beschrieben durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall \ \ i\in N: b_i=v(N)-v(N\setminus\{i\}).}

Die Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_i} beschreibt hierbei den marginalen Beitrag des Spielers $i$ bzgl. der großen Koalition $N$.

Untervektor

Sollte sich ein Spieler Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\in N} nicht an der großen Koalition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} beteiligen wollen, so kann er Teil einer sogenannten Außenseiterkoalition $S$ werden. Dann steht ihm der Wert der Außenseiterkoalition $v(S)$ zu. Allerdings muss Spieler $i$ den anderen Spielern einen Anreiz bieten, um ebenfalls an der Außenseiterkoalition $S$ teilzunehmen. Dazu wird jedem anderen Spieler $\displaystyle {j\in S\setminus \left\lbrace i\right\rbrace }$, der Wert geboten, den sie als Teil der großen Koalition $b_{j}$ realisieren könnten. Die so berechnete Differenz bildet die Untergrenze (auch Drohpunkt oder Konzessionsgrenze genannt) des Spielers $i$. Rein rational wird jene Koalition angestrebt, in der diese Differenz am größten ist.

In einem Spiel $\Gamma ({N},v)$ ist der Untervektor $a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})^{\mathrm {T} }$ gegeben mit:

$\forall \ \ i\in N:\ a_{i}=\displaystyle {\max \limits _{S\subseteq N:i\in S}~\left\lbrace v(S)-\sum _{j\in S\setminus \left\lbrace i\right\rbrace }b_{j}\right\rbrace }.$

Quasi-Balanciertheit

An eine solche Zuteilung werden zwei Forderungen gestellt. Zum einen müssen die Koordinaten $b_{i}$ mindestens so groß sein wie $a_{i}$ (für alle Spieler). Zum anderen soll der Wert der großen Koalition nicht-kleiner bzw. nicht-größer als die Summe aller $a_{i}$ bzw. $b_{i}$ sein. Dies beschreibt die Quasi-Balanciertheit eines Spieles.

Ein Spiel $\Gamma ({N},v)$ ist quasi-balanciert, sofern für alle $i\in N$:

$a_{i}\leq b_{i}$ sowie $\displaystyle {\sum _{i\in N}a_{i}\leq v(N)\leq \sum _{i\in N}b_{i}}$ erfüllt ist.

Definition Tijs-Wert

Für quasi-balancierte Spiele ist die Existenz und Eindeutigkeit einer Imputation gesichert, welche zwischen dem Obervektor $b$ und Untervektor $a$ liegt. Diese Imputation wird Tijs-Wert genannt.

Der $\tau$-Wert eines quasi-balancierten Spieles ist definiert durch:

$\tau ~(v)=a+\lambda (b-a)$, wobei:

$\lambda =0$, wenn $a=b$, ansonsten:

$\lambda ={\frac {v(N)-\displaystyle {\sum _{i\in N}a_{i}}}{\displaystyle {\sum _{i\in N}b_{i}}-\sum _{i\in N}a_{i}}}.$

Insgesamt erhält Spieler $i$ die $i$-Koordinate des $\tau$-Wert als Lösung zugeteilt.

Beispiel

Koalitionsfunktion des (Bei-)Spiels

${\displaystyle S}$	${\displaystyle \emptyset }$	${\displaystyle \{A\}}$	${\displaystyle \{B\}}$	${\displaystyle \{C\}}$	${\displaystyle \{A,B\}}$	${\displaystyle \{A,C\}}$	${\displaystyle \{B,C\}}$	${\displaystyle \{A,B,C\}}$
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle v(S)}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle 0}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle 200}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle 200}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle 200}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle 700}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle 500}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle 500}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\displaystyle 1200}}

Der Obervektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} ist bestimmt mit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b~=\begin{pmatrix} b_{\scriptscriptstyle A}\\ b_{\scriptscriptstyle B} \\ b_{\scriptscriptstyle C} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} v~(\lbrace A,B,C \rbrace)-v~(\lbrace B,C \rbrace) \\ v~(\lbrace A,B,C \rbrace)-v~(\lbrace A,C \rbrace) \\ v~(\lbrace A,B,C \rbrace)-v~(\lbrace A,B \rbrace) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1200-500\\ 1200-500\\ 1200-700 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 700 \\ 700\\ 500 \end{pmatrix} } .

Der Untervektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} ist berechnet mit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=\begin{pmatrix}a_A \\a_B \\a_C \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} {\operatorname{max}}( v(\lbrace A \rbrace);~ v (\lbrace A,B \rbrace)-b_{\scriptscriptstyle B};~ v (\lbrace A,C \rbrace)-b_{\scriptscriptstyle C};~ v (\lbrace A,B,C \rbrace)-(b_{\scriptscriptstyle B}+b_{\scriptscriptstyle C})) \\ {\operatorname{max}}(v(\lbrace B \rbrace);~ v (\lbrace A,B \rbrace)-b_{\scriptscriptstyle A};~ v (\lbrace B,C \rbrace)-b_{\scriptscriptstyle C};~ v (\lbrace A,B,C \rbrace)-(b_{\scriptscriptstyle A}+b_{\scriptscriptstyle C})) \\ {\operatorname{max}}( v(\lbrace C \rbrace);~ v (\lbrace A,C \rbrace)-b_{\scriptscriptstyle A};~ v (\lbrace B,C \rbrace)-b_{\scriptscriptstyle B};~ v (\lbrace A,B,C \rbrace)-(b_{\scriptscriptstyle A}+b_{\scriptscriptstyle B})) \end{pmatrix} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=\begin{pmatrix}{\operatorname{max}}( 200;~ 700-700;~ 500-500;~ 1200-(700+500)) \\ {\operatorname{max}}( 200;~ 700-700;~ 500-500;~ 1200-(700+500))\\ {\operatorname{max}}( 200;~ 500-700;~ 500-700;~ 1200-(700+700)) \end{pmatrix} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=\begin{pmatrix}&{\operatorname{max}}&(& 200&;~ &0&;~ &0&;~ &0&&) \\ &{\operatorname{max}}&(& 200&;~ &0&;~ &0&;~ &0&&)\\ &{\operatorname{max}}&(& 200&;~ &-200&;~ &-200&;~ &-200&&) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 200 \\ 200\\ 200 \end{pmatrix}}

Weiter ist der Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} zu berechnen mit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda=\frac{v(N)-\displaystyle{\sum_{i \in N}a_i}}{\displaystyle{\sum_{i \in N}b_i}-\sum_{i \in N}a_i}=\dfrac{ 1.200-600}{ 1.900-600}=\dfrac{ 6}{ 13}} .

Insgesamt folgt daher:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau~ =a+\lambda (b-a)=\begin{pmatrix} 200 \\ 200\\ 200 \end{pmatrix}+\dfrac{ 6}{ 13}\begin{pmatrix} 500 \\ 500\\ 300 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{5600}{ 13} \\ \dfrac{5600}{ 13}\\ \dfrac{4400}{ 13} \end{pmatrix}} .

Literatur

• Jesús Mario Bilbao: Cooperative Games on Combinatorial Structures. Springer, New York 2000, ISBN 978-0-7923-7782-5.
• Rodica Branzei, Dinko Dimitrov, Stef Tijs: Models in Cooperative Game Theory. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-77953-7.
• David Müller: Investitionscontrolling: Entscheidungsfindung bei Investitionen II: Entscheidungstheorie. 3. Aufl. Springer Gabler, Berlin u. a. 2022, ISBN 978-3-658-36596-7.
• S. H. Tijs: Bounds for the core of a game and the Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau} -value. In: O. Moeschlin, D. Pallaschke (Hg.): Game theory and mathematical economics. North-Holland, Amsterdam 1981, S. 123–132.
• S. H. Tijs: An axiomatization of the Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau} -value. In: Mathematical Social Sciences, Volume 13, Issue 2, 1987, https://doi.org/10.1016/0165-4896(87)90054-0, S. 177–181.