Timoschenko-Balken

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Verformung eines Timoschenko-Balkens (blau) gegenüber derjenigen eines Euler-Bernoulli-Balkens (rot)

Die Timoschenko-Balken-Theorie erklärt als Teil der Balkentheorie das Schwingungsverhalten sowie die Durchbiegung eingespannter Balken. Die Theorie des Timoschenko-Balkens wurde von dem ukrainischen Wissenschaftler und Mechaniker Stepan Tymoschenko zu Beginn des 20. Jahrhunderts entwickelt. Sie ist in weiten Teilen der klassischen Mechanik wichtig, insbesondere bei Gebäuden, Brücken o. Ä., da hier ein Balken auch unter auftretenden Kräften seine Funktion weiterhin erfüllen soll; sein Verhalten muss also so genau wie möglich vorhergesagt werden.

Die Timoschenko-Balken-Theorie erweitert die klassische Euler-Bernoulli-Balkentheorie um eine zusätzliche räumliche Ableitung 2. Grades: in der Bewegungsgleichung wird neben der veränderten Trägheit eines verformten Balkens zusätzlich auch Schubverformung berücksichtigt.[1]

Damit ist die Bernoullische Annahme, dass der Querschnitt eines Balkens auch nach der Verformung senkrecht zur Balkenachse bleibt, nicht mehr erfüllt. Durch das Zulassen zusätzlicher (Schub)-Deformation verringert sich die Steifigkeit des Balkens. Dies hat höhere Deformationen und geringere Eigenfrequenzen zur Folge.

Statischer Timoschenko-Balken

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Deformation eines Timoschenko-Balkens. Die Normale rotiert um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta_x = \varphi(x)} , welches sich von der Biegung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle dw/dx} der Balkenachse unterscheidet.

In der statischen Timoschenko-Balken-Theorie werden die Durchbiegungen des Balkens angenommen als

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wobei

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x,y,z)} die Koordinaten eines Punktes auf dem Balken (x: Längsrichtung; y: vorne / hinten; z: vertikal)
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_x, u_y, u_z} die Komponenten des Verschiebungsvektors in den drei Koordinatenrichtungen
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} der Rotationswinkel der Normalen zur Balkenachse
  • die Verschiebung der Balkenachse in der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} -Richtung darstellt.

Das statische Gleichgewicht ergibt sich als folgendes System gekoppelter gewöhnlicher Differentialgleichungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2} \left( E \cdot I \cdot \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x} \right) = q(x,t) \\ & \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} x} = \varphi - \frac{1}{\kappa \cdot A \cdot G} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left( E \cdot I \cdot \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x} \right) = \varphi - \frac{Q}{\kappa \cdot A \cdot G} \end{align} }

Darin ist

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} der Elastizitätsmodul des Balkenmaterials
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} das Flächenträgheitsmoment des Balkens
  • die Streckenlast in z-Richtung
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} die Querschnittsfläche des Balkens
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} der Schubmodul des Balkenmaterials.
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} der Timoshenko Schubkoeffizient der vom Querschnitt des Balkens abhängt. Normal gilt für einen rechteckigen Querschnitt =5/6.[2]

Die Kombination der beiden Gleichungen ergibt die Gleichung für einen homogenen Balken Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \frac{\mathrm d E}{\mathrm d x} = \frac{\mathrm d G}{\mathrm d x} = 0 \right)} mit konstantem Querschnitt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \frac{\mathrm d A}{\mathrm d x} = \frac{\mathrm d I}{\mathrm d x} = 0 \right)} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E \cdot I \cdot \cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} = q(x) - \cfrac{E \cdot I}{\kappa \cdot A \cdot G} \cdot \cfrac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} x^2}}

Euler-Bernoulli-Balken als Spezialfall des Timoschenko-Balkens

Die Timoschenko-Balken-Theorie kann in die Euler-Bernoulli-Balkentheorie überführt werden, wenn der letzte Term vernachlässigt wird. Dies ist zulässig für

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{E \cdot I}{\kappa \cdot A \cdot G \cdot L^2 } \ll 1}

mit der Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L} des Balkens.

Die Euler-Bernoulli-Balkentheorie kann also angesehen werden als Spezialfall der Timoschenko-Balken-Theorie für hohe Schubsteifigkeit.

Literatur, Weblinks

  • Christian Spura: Technische Mechanik 2. Elastostatik. 1. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-19978-4.
  • Christian Spura: Einführung in die Balkentheorie nach Timoshenko und Euler-Bernoulli. Springer Vieweg, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-25215-1.

Referenzen

  1. ↑ H. Bremer: Dynamik und Regelung mechanischer Systeme, Teubner Stuttgart 1988, S. 63
  2. ↑ F. Gruttmann und W. Wagner: Shear correction factors in Timoshenko’s beam theory for arbitrary shaped cross–sections (S. 9), Computational Mechanics 7 2001, p199-207
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