Topologische Entropie

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Die topologische Entropie ist eine Invariante, die die Komplexität dynamischer Systeme misst. Sie verallgemeinert den (maßtheoretischen) Begriff der Kolmogorow-Sinai-Entropie auf nicht notwendig maßerhaltende dynamische Systeme.

Die Entropie misst die Chaotizität eines dynamischen Systems. Man bezeichnet dynamische Systeme als chaotisch, wenn ihre Entropie positiv ist.

Definitionen

Sei ein kompakter topologischer Raum und eine stetige Abbildung.

Definition nach Adler-Konheim-McAndrew

Die topologische Entropie des durch Iteration von definierten dynamischen Systems wird wie folgt definiert.

Für eine endliche offene Überdeckung

von durch offene Mengen bezeichnen wir mit

den Logarithmus der minimalen Anzahl von Mengen aus , die bereits ganz überdecken. Für zwei offene Überdeckungen und bezeichnen wir mit die Überdeckung durch offene Mengen der Form

mit .

Mit diesen Bezeichnungen wird die topologische Entropie von definiert als

,

wobei das Supremum über alle offenen Überdeckungen genommen wird.

Metrische Definition nach Bowen und Dinaburg

Sei ein metrischer Raum und wieder eine stetige Abbildung.

Für alle definieren wir eine neue Metrik durch

.

Für sei

die maximale Kardinalität einer Menge mit für alle .

Dann definieren wir die topologische Entropie von durch

.

Wenn ein kompakter metrischer Raum ist, dann stimmt diese Definition mit der von Adler-Konheim-McAndrew überein.[1]

Beispiele

  • Für eine Isometrie oder allgemeiner eine Lipschitz-stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante ist .
  • Für eine logistische Abbildung mit ist .
  • Die topologische Entropie der Winkelverdopplungsabbildung ist .
  • Die topologische Entropie der Shiftabbildung auf Symbolen ist .[2]

Eigenschaften

  • .
  • Für einen Homöomorphismus ist .
  • für jeden Homöomorphismus und beliebige .
  • Die topologische Entropie hängt nur von der Topologie, nicht von der zugrundeliegenden Metrik ab.

Literatur

  • Luis Barreira, Claudia Valls: Dynamical systems. An introduction. Translated from the 2012 Portuguese original. Universitext. Springer, London 2013, ISBN 978-1-4471-4834-0.
  • R. L. Adler, A. G. Konheim, M. H. McAndrew: Topological entropy. In: Trans. Amer. Math. Soc. 114, 1965, S. 309–319.
  • Rufus Bowen: Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces. In: Trans. Amer. Math. Soc. 153, 1971, S. 401–414.
  • E. I. Dinaburg: A connection between various entropy characterizations of dynamical systems. In: Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 35, 1971, S. 324–366. (russisch)

Einzelnachweise

  1. Rufus Bowen: Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces. In: Trans. Amer. Math. Soc. 153, 1971, S. 401–414.
  2. Jacques M. Bahi, Christophe Guyeux: Discrete dynamical systems and chaotic machines. Theory and applications. Chapman & Hall/CRC Numerical Analysis and Scientific Computing. CRC Press, Boca Raton, FL 2013, ISBN 978-1-4665-5450-4.