Transconvolution

Der Begriff Transconvolution bezeichnet ein numerisches Verfahren aus dem Bereich der medizinischen Bildgebung, insbesondere der Emissionscomputertomographie, das eine nachträgliche Manipulation der Punktspreizfunktion (engl. „point spread function“, PSF) bei bereits aufgenommenen Bildern ermöglicht.

Eigenschaften eines Bildes wie die räumliche Auflösung oder die Darstellbarkeit kleiner Objekte werden durch die PSF des für die Bildaufnahme verwendeten bildgebenden Systems bestimmt. Unterschiedliche bildgebende Systeme mit unterschiedlichen PSFs liefern daher etwas unterschiedliche Bilder auch ein und desselben Objektes.

Ausgehend von bekannten PSFs unterschiedlicher tomographischer Systeme, kann durch das Transconvolution-Verfahren ein Bild, das auf einem bestimmten Tomographen aufgenommen wurde, derart umgerechnet werden, als wäre es von einem anderen Tomographen aufgenommen worden. Das Verfahren kann so die Vergleichbarkeit von Bildern, die ursprünglich auf verschiedenen Systemen aufgenommen wurden, sicherstellen.

Definition

Für zwei unterschiedliche Tomographen mit unterschiedlichen Punktspreizfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle psf_1} und $psf_{2}$ kann die Bildgebung als Faltung beschrieben werden als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle obj * psf_1 = img_1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle obj * psf_2 = img_2}

wobei "Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle *} " den Faltungsoperator darstellt und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle img_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle img_2} für die beiden leicht unterschiedlichen von den jeweiligen Tomographen erzeugten Bilder desselben Objektes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle obj} stehen.

Aus den beiden Gleichungen folgt unmittelbar die Beziehung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle img_1 * psf_1^{-1} * psf_2 = img_2}

wobei $psf_{1}^{-1}$ für die Inverse der Punktspreizfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle psf_1} steht.

Während die inverse Punktspreizfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle psf_1^{-1}} divergiert und nicht numerisch bestimmt werden kann, ist der vollständige Term Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle psf_1^{-1} * psf_2} unter bestimmten Randbedingungen durch numerische Methoden näherungsweise berechenbar.

Die Transconvolution-Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tf} wird nun definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle tf = psf_1^{-1} * psf_2}

mit der resultierenden Beziehung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle img_1 * tf = img_2}

In Kenntnis der PSFs der jeweiligen Tomographen ist es somit möglich ein durch den ersten Tomographen erzeugtes Bild $img_{1}$ jeweils so umzurechnen als wäre es als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle img_2} durch den zweiten Tomographen aufgenommen worden. Selbstverständlich unterliegt das Verfahren bestimmten Grenzen, insbesondere kann das berechnete Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle img_2} keine Raumfrequenzen darstellen, die durch die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle psf_1} nicht mehr erfasst werden, i. e. die räumliche Auflösung eines Bildes kann nicht beliebig erhöht werden.

Anwendung in der medizinischen Bildgebung

Die zweite Punktspreizfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle psf_2} muss nicht einen realen Tomographen repräsentieren, sondern kann direkt definiert werden und repräsentiert dann einen virtuellen Tomographen mit entsprechenden Eigenschaften. Ausgehend von der Definition eines standardisierten virtuellen Tomographen sowie der Bestimmung der Abbildungseigenschaften unterschiedlicher realer Tomographen erlaubt die Transconvolution-Methode eine einheitliche und quantitativ vergleichbare Darstellung der von den unterschiedlichen Tomographen oder Systemen aufgenommenen Bilddaten so, als wären alle Messungen gleichermaßen durch das standardisierte virtuelle System erfolgt. Das Verfahren unterstützt damit quantitative Vergleiche von Bildern, die durch unterschiedliche bildgebende Systeme und insbesondere durch unterschiedliche klinische Tomographen, aufgenommen wurden.

Eine andere Anwendung der Transconvolution Methode in der Positronen-Emissions-Tomographie erlaubt die Handhabung der unterschiedlichen Bildunschärfe, die durch die unterschiedlichen Positronreichweiten der Positronen emittierenden Radionuklide entstehen (β⁺-Zerfall). Dies ermöglicht insbesondere die Verwendung unterschiedlicher Radionuklide bei der Kalibrierung gegenüber der folgenden Bildgebung.

Literatur

• T. Weitzel, F. Corminboeuf, B. Klaeser, T Krause: Kreuzkalibrierung von Positronen-Emissions-Tomographen für multizentrische Studien: Festkörper-Phantom und Transconvolution. In: Bulletin der Schweizerische Gesellschaft für Strahlenbiologie und Medizinische Physik. Oct. 2010, S. 9ff. SGSMP-Bulletin 72
• T. Weitzel, F. Corminboeuf, B. Klaeser, T. Krause, T Beyer: Transconvolution and virtual PET: A new concept for quantification of PET in multi-center trials. In: Journal of Nuclear Medicine. 51, 2010, S. 115.
• G. A. Prenosil, T. Weitzel, M. Hentschel, B. Klaeser, T Krause: Transconvolution and the virtual positron emission tomograph - A new method for cross calibration in quantitative PET/CT imaging. In: Medical Physics. 40, Juni 2013, S. 062503.
• G. A. Prenosil, M. Hentschel, M. Fürstner, T. Krause, T. Weitzel, B. Klaeser: Technical Note: Transconvolution based equalization of positron energy effects for the use of 68Ge/68Ga phantoms in determining 18F PET recovery. In: Medical Physics., 44, 2017 S. 3761

Weblinks

• G. A. Prenosil, T. Weitzel, M. Hentschel, B. Klaeser, T. Krause: Transconvolution and the virtual positron emission tomograph–a new method for cross calibration in quantitative PET∕CT imaging. In: Medical physics. Band 40, Nummer 6, Juni 2013, S. 062503, doi:10.1118/1.4805112, PMID 23718608.
• Patent Publikation WO2011123964 (Google Patents)