Transversalitätssatz

Der Transversalitätssatz ist ein auf René Thom zurückgehender Satz der Differentialtopologie, der die Grundlage für zahlreiche topologische Konstruktionen wie zum Beispiel die Pontrjagin-Thom-Konstruktion, die Kobordismustheorie, Chirurgietheorie sowie die Definition von Schnittzahlen und Verschlingungszahlen bildet.

Satz

Sei $f\colon M\rightarrow N$ eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und $U$ eine Untermannigfaltigkeit von $N$. Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion $\delta \colon M\rightarrow \mathbb {R}$ (und jeder Metrik auf $N$) eine $\delta$-Approximation von $f$, die transversal zu $U$ ist.

Erläuterungen: Eine differenzierbare Abbildung $g\colon M\rightarrow N$ ist transversal zur Untermannigfaltigkeit $U$, wenn

$T_{g(x)}N=T_{g(x)}U+d_{x}g(T_{x}M)\quad \forall \,x\in g^{-1}(U)$

gilt. (Insbesondere auch wenn $g^{-1}(U)=\emptyset$.) Eine Abbildung $g\colon M\rightarrow N$ ist eine δ-Approximation von $f\colon M\rightarrow N$ falls

$d(f(x),g(x))<\delta (x)\quad \forall \,x\in M,$

gilt. Für hinreichend kleine $\delta >0$ ist jede δ-Approximation homotop zu $f$. Insbesondere folgt aus dem Transversalitätssatz also die Existenz einer zu $f$ homotopen Abbildung, die transversal zu $U$ ist. Zu jedem $\epsilon \colon M\rightarrow \mathbb {R}$ gibt es ein $\delta \colon M\rightarrow \mathbb {R}$, so dass es zu jeder δ-Approximation $g$ von $f$ eine Homotopie $H\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N$ zwischen $f$ und $g$ gibt, bei der für jedes $t\in \left[0,1\right]$ die Abbildung $H(.,t)$ eine ε-Approximation von $f$ ist.

Beispiele

• $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (t,t^{2})$ ist nicht transversal zur x-Achse, jedoch ist für jedes $\epsilon >0$ die Abbildung $g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (t,t^{2}+\epsilon )$ transversal zur x-Achse.
• Falls $\dim(M)+\dim(U)<\dim(N)$, dann folgt aus dem Transversalitätssatz, dass es zu jeder Abbildung $f\colon M\rightarrow N$ eine δ-Approximation gibt, deren Bild disjunkt zu $U$ ist.

Relative Version und Homotopietransversalitätssatz

Sei $f\colon M\rightarrow N$ eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und $U$ eine Untermannigfaltigkeit von $N$. Sei $A$ eine Untermannigfaltigkeit von $M$ und die Einschränkung $f\mid _{A}$ sei transversal zu $U$. Dann gibt es zu jeder strikt positiven Funktion $\delta \colon M\rightarrow \mathbb {R}$ (und jeder Metrik auf $N$) eine $\delta$-Approximation von $f$, die transversal zu $U$ ist und auf $A$ mit $f$ übereinstimmt.

Als einen Spezialfall erhält man den Homotopietransversalitätssatz:

Seien $M,N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und $U$ eine Untermannigfaltigkeit von $N$. Sei $F\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N$ eine differenzierbare Abbildung, für die $f_{0}:=F(.,0)\colon M\rightarrow N$ und $f_{1}:=F(.,1)\colon M\rightarrow N$ transversal zu $U$ sind. Dann gibt es eine Abbildung $G\colon M\times \left[0,1\right]\rightarrow N$, die transversal zu $U$ ist und auf $M\times \left\{0\right\}$ bzw. $M\times \left\{1\right\}$ mit $f_{0}$ bzw. $f_{1}$ übereinstimmt.

In Worten: wenn zwei transversale Abbildungen homotop sind, dann gibt es auch eine transversale Homotopie.