In der Mathematik ist das Tripelverhältnis (engl. triple ratio) eine Invariante der linearen Algebra, die das Doppelverhältnis der projektiven Geometrie verallgemeinert und insbesondere in der Darstellungstheorie von Flächengruppen von Bedeutung ist.
Fahnen, generische Tripel
Es sei
ein
-dimensionaler Vektorraum. Eine vollständige Fahne ist eine Folge
von Untervektorräumen
mit
![{\displaystyle E_{0}\subsetneq E_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq E_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd3360e3ea49fba6502775e27366d3b92546e5c)
und
für
, insbesondere
und
.
Ein Tripel
vollständiger Fahnen heißt generisch, wenn alle vorkommenden Unterräume transversal zueinander sind, eine hinreichende Bedingung hierfür ist
.
Definition
Sei
ein generisches Tripel vollständiger Fahnen eines
-dimensionalen Vektorraums
. Wir fixieren einen Isomorphismus
und damit auch einen Isomorphismus
.
Für jedes
wählen wir
Elemente
.
(Wegen
sind diese Elemente eindeutig bis auf Multiplikation mit von Null verschiedenen reellen Zahlen.)
Wir bezeichnen die Bilder dieser Elemente in
ebenfalls mit
.
Seien
positive, ganze Zahlen mit
. Das (a,b,c)-Tripelverhältnis des generischen Tripels vollständiger Fahnen
wird definiert durch die Formel
.
Die sechs Wedgeprodukte sind jeweils Elemente von
, aus der Annahme der Generizität folgt, dass sie alle von Null verschieden sind. Man beachte, dass die
nur bis auf Multiplikation mit reellen Zahlen eindeutig definiert sind, dass aber jedes Element in Zähler und Nenner gleichermaßen vorkommt und
deshalb wohldefiniert ist.
Geometrische Interpretation für n=3
Das Tripelverhältnis dreier Fahnen
in
ist das Doppelverhältnis der vier projektiven Geraden
nach Identifikation der Menge der projektiven Geraden in
mit einer projektiven Geraden
.
Insbesondere gilt:
- das Tripelverhältnis ist −1 genau dann, wenn entweder die Geraden
einen gemeinsamen Punkt haben (Satz von Ceva) oder die Punkte
auf einer Geraden liegen (Satz von Menelaos) oder beides.
- das Tripelverhältnis ist positiv genau dann, wenn das Dreieck ABC dem Dreieck
einbeschrieben ist.
Vollständige Invariante
Das Tripelverhältnis ist eine vollständige Invariante generischer Tripel unter Basiswechseln
:
Satz (Fock-Goncharov): Zu zwei generischen Tripeln vollständiger Fahnen
und
gibt es genau dann eine lineare Abbildung
mit
,
wenn
![{\displaystyle T_{a,b,c}(E,F,G)=T_{abc}(E^{\prime },F^{\prime },G^{\prime })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077b6102045fea8bc4882fb4dc985f18630d89b7)
für alle Tripel positiver, ganzer Zahlen
mit
gilt.[1]
Literatur
- Fock-Goncharov: Moduli spaces of local systems and higher Teichmüller theory. Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. No. 103 (2006), 1–211. pdf
- Bonahon-Dreyer: Parametrizing Hitchin components pdf
Einzelnachweise
- ↑ Ein ausführlicher Beweis findet sich in:
- Yuichi Kabaya: On Fock-Goncharov coordinates of the once-punctured torus groups pdf