Spiegelzahl
Eine Spiegelzahl (manchmal auch: Invertzahl, Umkehrzahl oder Kehrzahl) zu einer mehrstelligen natürlichen Zahl erhält man, indem man die Ziffern in umgekehrter Reihenfolge aufschreibt, z. B. ist 4321 Spiegelzahl zu 1234. Eine Zahl ohne Spiegelzahl endet mit der Ziffer 0, z. B. 1230 in umgekehrter Reihenfolge ist 0321 = 321, nur noch dreistellig.
- Ergibt sich beim Invertieren einer Zahl dieselbe Zahl, spricht man von einem Zahlenpalindrom.
- Bereits die Summe zweier Spiegelzahlen ergibt immer dann ein Palindrom, wenn die Summe der Ziffern an jeder Zahlenstelle kleiner als Zehn bleibt, es sich also keinen Zahlenübertrag bei der schriftlichen Addition ergibt, welcher die Symmetrie des Ergebnisses zerstört.
- Aber auch, wenn man zu der Summe eines Spiegelzahlenpaares ihre Spiegelzahl addiert, so ergibt sich, meist nach wenigen Schritten, eine Palindromzahl, also z. B. 39 + 93 = 132 und 132 + 231 = 363. Bei 89 + 98 sind 24 Schritte notwendig[1]; nur bei wenigen Ausnahmen, den Lychrel-Zahlen, funktioniert dieser Algorithmus nicht.
- Besondere Spiegelzahlen sind Mirpzahlen, d. h. Primzahlen, die rückwärts gelesen wieder eine Primzahl ergeben.
- Die Differenz einer Zahl und ihrer Spiegelzahl ist (im Zehnersystem) durch 9 teilbar (bzw. ein Vielfaches von 9).
- Die Multiplikation einer Zahl mit ihrer Spiegelzahl ist beim Kopfrechnen besonders einfach.
- Spiegelzahlen von Quadratzahlen von manchen natürlichen Zahlen verhalten sich wie deren quadrierte Spiegelzahl, also z. B.:
12² = 144 | 441 = 21² 13² = 169 | 961 = 31² 112² = 12544 | 44521 = 211² 113² = 12769 | 96721 = 311² 1112² = 1236544 | 4456321 = 2111² 1113² = 1238769 | 9678321 = 3111² 11112² = 123476544 | 445674321 = 21111² 11113³ = 123498769 | 967894321 = 31111² 111112² = 12345876544 | 44567854321 = 211111² 1111112²= 1234569876544|4456789654321 = 2111111²
Für 11, 111 etc. ergeben sich dafür Palindromzahlen (siehe Tabelle dort).
Vorkommen
Spiegelzahlen treten auf in der Mathematikdidaktik bei Rechenübungen,[2][3] in Aufgabenstellungen bei Mathematikwettbewerben, in Programmierübungen für Anfänger,[4] bei manchen Algorithmen (wie bei der Berechnung der Kaprekar-Konstanten) sowie in der Numerologie.
Literatur
Kröber, K.G. Mathematik der Palindrome. Rowohlt 2003. ISBN 9783499615764
Einzelnachweise
- ↑ [1] http://www.jasondoucette.com/pal/89, auch andere Zahlen eingeben und bis zum Palindrom rechnen lassen, abgerufen am 4. Mai
- ↑ Aufgaben zu Spiegelzahlen: Beispiele aus Schulbüchern. In: pikas.dzlm.de. Abgerufen am 8. Januar 2022.
- ↑ Archivierte Kopie (Memento des Originals vom 31. Juli 2016 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis. http://www.helmholtz-bi.de/. Abgerufen am 31. Juli 2016.
- ↑ [2] http://www.programmingsimplified.com/c/source-code/c-program-reverse-number, C-Programm zum Berechnen von Spiegelzahlen (reverse number). Abgerufen am 31. Juli 2016.
