Zahlenpalindrom

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Zahlenpalindrome bzw. Palindromzahlen sind natürliche Zahlen, deren Zahlensystemdarstellung von vorne und hinten gelesen den gleichen Wert hat, z. B. 1331 oder 742247, aber auch 21 zur Basis 2 (=10101). Manchmal wird auch die allgemeine Schreibweise a1a2a3 ...|... a3a2a1 für Zahlen mit der Basis verwendet.

Der Begriff Palindrom wurde in die Zahlentheorie, einem Teilbereich der Mathematik, aus der Sprachwissenschaft übernommen.

Palindrome im Dezimalsystem

Alle Zahlen des Dezimalsystems mit nur einer Ziffer sind Palindromzahlen.

Es gibt neun zweistellige Palindromzahlen:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}

Es gibt 90 dreistellige Palindromzahlen:

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,
202, 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292,
303, 313, 323, 333, 343, 353, 363, 373, 383, 393,
404, 414, 424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494,
505, 515, 525, 535, 545, 555, 565, 575, 585, 595,
606, 616, 626, 636, 646, 656, 666, 676, 686, 696,
707, 717, 727, 737, 747, 757, 767, 777, 787, 797,
808, 818, 828, 838, 848, 858, 868, 878, 888, 898,
909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

sowie ebenfalls 90 vierstellige Palindromzahlen:

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,
2002, 2112, 2222, 2332, 2442, 2552, 2662, 2772, 2882, 2992,
3003, 3113, 3223, 3333, 3443, 3553, 3663, 3773, 3883, 3993,
4004, 4114, 4224, 4334, 4444, 4554, 4664, 4774, 4884, 4994,
5005, 5115, 5225, 5335, 5445, 5555, 5665, 5775, 5885, 5995,
6006, 6116, 6226, 6336, 6446, 6556, 6666, 6776, 6886, 6996,
7007, 7117, 7227, 7337, 7447, 7557, 7667, 7777, 7887, 7997,
8008, 8118, 8228, 8338, 8448, 8558, 8668, 8778, 8888, 8998,
9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999}

Damit gibt es unter 104 (also 10.000) genau 9 + 9 + 90 + 90 = 198 Zahlenpalindrome. Insgesamt gibt es 9 + 9 + 90 + 90 + 900 = 1098 Zahlenpalindrome, die kleiner sind als 105 (also 100.000). Die Anzahl der Palindrome kleiner als 10n folgt dieser Zahlenreihe: 1998 (für n = 6), 10998 (für n = 7 usw.), 19998, 109998, 199998, 1099998, … (OEIS, A050250[1]).

Des Weiteren hat jede ganze Zahl, die nicht durch 10 teilbar ist, ein positives Vielfaches, das ein Dezimalpalindrom ist, was in einer Aufgabe des Bundeswettbewerbs Mathematik 2009 zu beweisen war.[2]

Aus den Teilbarkeitsregeln ergibt sich außerdem, dass alle Zahlenpalindrome mit gerader Stellenzahl durch 11 teilbar sind.

Erzeugung von Zahlenpalindromen

Quadrieren von 1-er Zahlen

Im Dezimalsystem erhält man durch

Palindromzahlen, wobei [1]n die Kurzschreibweise für die n-fache Wiederholung der 1 ist und n von 1 bis 9 reicht.

1 * 1 = 1
11 * 11 = 121
111 * 111 = 12321
1111 * 1111 = 1234321
11111 * 11111 = 123454321
111111 * 111111 = 12345654321
1111111 * 1111111 = 1234567654321
11111111 * 11111111 = 123456787654321
111111111 * 111111111 = 12345678987654321

Umkehrung und Addition

Eine weitere Möglichkeit ist das iterative Schema, bei dem eine beliebige positive Zahl (die nicht selber schon ein Palindrom ist) bis zum Erreichen eines Palindroms durch folgenden Algorithmus gedreht wird:

  1. Drehe die Zahl um (z. B. 84 zu 48), d. h. erstelle die Spiegelzahl
  2. Addiere die umgedrehte Zahl zu ihrer Ausgangszahl (48 + 84 = 132)
  3. Drehe die neu entstandene Zahl erneut um (132 zu 231)
  4. Addiere erneut beide Zahlen (132 + 231 = 363)

Bei den meisten Zahlen entsteht nach einer bestimmten Anzahl an Rechenschritten (bis 10.000 maximal 24 Schritte) ein Zahlenpalindrom. Allerdings existieren auch Zahlen, die sich dieser Transformation widersetzen und bei denen bisher keine Palindrombildung zu finden ist. Solche Zahlen nennt man Lychrel-Zahlen; die bekannteste Lychrel-Zahl ist 196. Man bezeichnet den obigen Algorithmus daher auch als 196-Algorithmus.

Palindrome bei Transformation des Zahlensystems

Zahlenpalindrome können auch bei der Transformation von Dezimalzahlen in ein anderes Zahlensystem entstehen.

Die folgende Tabelle listet alle Zahlenpalindrome auf (für Zahlen von 10 bis 107), die sich bei der Transformation vom Dezimalsystem in das jeweilige Zahlensystem ergeben.

Basis Dezimalzahl Zahl in anderem Zahlensystem
4 13 31
7 23 32
46 64
2116 6112
15.226 62.251
8 (oktal) 1.527.465 5.647.251
9 445 544
313.725 527.313
3.454.446 6.444.543
12 (duodezimal) 315.231 132.513
13 43 34
86 68
774 477
14 834 438
16 (hexadezimal) 53 35
371 173
5141 1415
99.481 18.499
19 21 12
42 24
63 36
84 48
441 144
882 288
7721 1277
9471 1749
21 551 155
912 219
22 73 37
511 115
25 83 38
28 31 13
62 26
93 39
961 169
37 41 14
82 28
46 51 15
55 61 16
64 71 17
73 81 18
82 91 19

Summe von Zahlenpalindromen

In einem Aufsatz von 2018 wurde gezeigt, dass jede positive ganze Zahl als Summe von drei Zahlenpalindromen geschrieben werden kann, unabhängig vom verwendeten Zahlensystem mit der Basis 5 oder größer.[3]

Siehe auch

Literatur

  • Malcolm E. Lines: A Number for Your Thoughts: Facts and Speculations about Number from Euclid to the latest Computers. CRC Press, 1986, ISBN 0-85274-495-1, S. 61 (eingeschränkt (Google Books))

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ A050250. Abgerufen am 5. November 2020.
  2. ↑ Bundeswettbewerb Mathematik Aufgabenblatt 2009 1. Runde. (PDF; 16 kB) Abgerufen am 16. November 2012.
  3. ↑ Javier Cilleruelo, Florian Luca, Lewis Baxter: Every positive integer is a sum of three palindromes In: Mathematics of Computation (arXiv Preprint)
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