Ungleichung von Frobenius

Die Ungleichung von Frobenius ist ein Ergebnis der Linearen Algebra, einem der Teilgebiete der Mathematik. Sie ist nach Georg Frobenius benannt und behandelt die Beziehungen zwischen den Rängen dreier hintereinander ausgeführter linearer Abbildungen.

Formulierung der Ungleichung

Die Ungleichung besagt folgendes:

Gegeben seien vier Vektorräume $U,V,W,X$ über einem beliebigen Körper $K$ und dazu drei lineare Abbildungen  $\alpha \colon U\to V$  ,   $\beta \colon V\to W$   und   $\gamma \colon W\to X$  .

Dann gilt:

$\mathrm {rg} (\gamma \beta )+\mathrm {rg} (\beta \alpha )\leq \mathrm {rg} (\beta )+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )$  .

Beweisskizze

Sei $W_{0}$ ein Komplementärraum von $\mathrm {im} (\beta \alpha )$   in   $\mathrm {im} (\beta )$, also

$\mathrm {im} (\beta )=\mathrm {im} (\beta \alpha )\oplus W_{0}$ .

Dann folgt

$\mathrm {im} (\gamma \beta )=\mathrm {im} (\gamma \beta \alpha )+\gamma (W_{0})$

und weiter

$\mathrm {rg} (\gamma \beta )\leq \mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )+\dim(\gamma (W_{0}))$ .

Damit bekommt man

${\begin{aligned}\mathrm {rg} (\beta \alpha )+\mathrm {rg} (\gamma \beta )&\leq \mathrm {rg} (\beta \alpha )+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )+\dim(\gamma (W_{0}))\\&\leq \mathrm {rg} (\beta \alpha )+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )+\dim(W_{0})\\&=[\dim(\mathrm {im} (\beta \alpha ))+\dim(W_{0})]+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )\\&=\dim(\mathrm {im} (\beta ))+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha )\\&=\mathrm {rg} (\beta )+\mathrm {rg} (\gamma \beta \alpha ),\end{aligned}}$

also insgesamt die behauptete Ungleichung.

Anmerkung

Da bei beliebigen Vektorräumen der Dimensionsbegriff und auch der Nachweis der Existenz eines Komplementärraums die Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms erfordert, ist im Falle, dass man diese Annahme nicht treffen möchte, von Vektorräumen endlicher Dimension auszugehen. Für solche ist die Ungleichung stets gültig.

Literatur

• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra (= De-Gruyter-Lehrbuch). 12., überarbeitete Auflage. Verlag Walter de Gruyter, Berlin (u. a.) 2003, ISBN 3-11-017963-6. 
• Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Unter Einschluß der linearen Algebra. Teil 1 (= Mathematische Leitfäden). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0 (MR1312830).