Ungleichung von Mulholland

Die Ungleichung von Mulholland (englisch Mulholland’s inequality) ist ein Resultat der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Die Ungleichung ist verwandt mit der minkowskischen Ungleichung, welche sich im Wesentlichen aus der mulhollandschen Ungleichung als Korollar ergibt. Sie wurde von Hugh P. Mulholland im Jahre 1950 publiziert und gab Anlass zu einer Reihe weiterführender Untersuchungen.

Formulierung

Das Resultat lässt sich wie folgt angeben:

Gegeben seien das reelle Intervall $I=[0,\infty )$ und eine reelle Funktion $f\colon I\to I$ mit folgenden Eigenschaften:

(1) $f(0)=0$  .

(2) $f$ ist eine stetige Bijektion und dabei eine streng monoton steigende Funktion.

(3) Die Einschränkung $f|_{(0,\infty )}$ auf das Innere des Intervalls ist eine Jensen-konvexe Funktion.

(4) Die durch die Zuordnung $t\mapsto F(t)=\ln \left(f\left(e^{t}\right)\right)$ gegebene reelle Funktion $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist ebenfalls Jensen-konvex.

Dann gilt für jede natürliche Zahl $N>0$ und je zwei $N$-Tupel $(a_{1},\ldots ,a_{N}),(b_{1},\ldots ,b_{N})\in I^{N}$ stets die Ungleichung

$f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{N}{f(a_{i}+b_{i})}\right)\leq f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{N}{f(a_{i})}\right)+f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{N}{f(b_{i})}\right)$  .

Korollar

Nimmt man oben (zu einer gegebenen reellen Zahl $p\geq 1$) als Funktion $f$ die Potenzfunktion $t\mapsto f(t)=t^{p}\;(t\geq 0)$, so erhält man eine Version der minkowskischen Ungleichung:

Für jede natürliche Zahl $N>0$ und je zwei $N$-Tupel $(a_{1},\ldots ,a_{N})$ und $(b_{1},\ldots ,b_{N})$ nichtnegativer reeller Zahlen gilt stets

${\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{N}{(a_{i}+b_{i})^{p}}}}\leq {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{N}{{a_{i}}^{p}}}}+{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{N}{{b_{i}}^{p}}}}$  .

Literatur

• Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Cauchy's Equation and Jensen's Inequality. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2009, ISBN 978-3-7643-8748-8 (MR2467621). 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• H. P. Mulholland: On generalizations of Minkowski's inequality in the form of a triangle inequality. In: Proceedings of the London Mathematical Society (2). Band 51, 1950, S. 294–307 (MR0033865). 
• Zhen Xiao Huang, Bicheng Yang: On a half-discrete Hilbert-type inequality similar to Mulholland's inequality. In: Journal of Inequalities and Applications. 2013, S. 2013:290 (MR3073994).