Vampirzahl

Clifford Pickover, der Namensgeber dieser Zahlen

In der Unterhaltungsmathematik ist eine Vampirzahl (oder echte Vampirzahl, englisch vampire number) eine zusammengesetzte natürliche Zahl mit einer geraden Anzahl an Ziffern, welche in zwei natürliche Zahlen faktorisiert werden kann (nicht unbedingt primfaktorisiert), die beide genau halb so viele Stellen wie die ursprüngliche Zahl haben. Die beiden Faktoren müssen gemeinsam alle Ziffern der ursprünglichen Zahl in beliebiger Reihenfolge enthalten und dürfen nicht beide gleichzeitig mit Nullen aufhören. Die beiden Faktoren nennt man Reißzähne von $n$ (englisch fangs of $n$).

Mit anderen Worten:

Sei $n$ eine natürliche Zahl mit $2k$ Stellen, also $n=n_{2k}n_{2k-1}\ldots n_{2}n_{1}$.

Dann ist $n$ eine Vampir-Zahl genau dann, wenn gilt:

• Es gibt zwei natürliche Zahlen $a$ und $b$ mit jeweils genau $k$ Stellen, also $a=a_{k}a_{k-1}\ldots a_{2}a_{1}$ und $b=b_{k}b_{k-1}\ldots b_{2}b_{1}$
• $a\cdot b=n$
• Die Einerstellen $a_{1}$ und $b_{1}$ von $a$ und $b$ dürfen nicht gleichzeitig Null sein.
• Die Aneinanderreihung (Konkatenation) der insgesamt $2k$ Stellen der Teiler $a$ und $b$, also $a_{k}a_{k-1}\ldots a_{2}a_{1}b_{k}b_{k-1}\ldots b_{2}b_{1}$ ist eine Permutation der $2k$ Stellen von $n$.

Vampirzahlen wurden erstmals im Jahr 1994 von Clifford A. Pickover in einem Beitrag in der Usenet-Gruppe sci.math beschrieben, und der Artikel, den er später schrieb, wurde in Kapitel 30 seines Buches Keys to Infinity veröffentlicht. Inspiriert wurde die Benennung durch den Film Interview mit einem Vampir, der im selben Jahr erschienen ist.

Beispiele

• Die kleinste Vampirzahl ist $1260=21\cdot 60$. Die beiden Zahlen $21$ und $60$ sind die Reißzähne von $1260$. Die Stellen der beiden Faktoren aneinandergereiht ergibt $2160$ und die Permutation dieser Ziffern ergibt wieder die ursprüngliche Zahl $1260$.

• Die Zahl $126000=21\cdot 6000$ ist keine Vampirzahl, weil sowohl $21$ als auch $6000$ nicht die richtige Anzahl von Stellen haben (es müssten jeweils 3 sein).

• Die Zahl $126000=210\cdot 600$ ist keine Vampirzahl, weil sowohl $210$ als auch $600$ gleichzeitig mit Nullen aufhören, was laut Definition der Vampirzahlen nicht erlaubt ist. Es gibt auch keine andere geeignete Zerlegung.

• Die Zahl $1023=31\cdot 33$ ist keine Vampirzahl, obwohl sowohl die Ziffern von $31$ als auch von $33$ in der ursprünglichen Zahl $1023$ enthalten sind. Allerdings ergibt die Aneinanderreihung der beiden Zahlen die vierstellige Zahl $3133$, aus der man durch Vertauschung der Ziffern aber niemals die Ausgangszahl $1023$ machen kann. Es gibt auch keine andere geeignete Zerlegung.

• Die kleinsten Vampirzahlen lauten:

1260, 1395, 1435, 1530, 1827, 2187, 6880, 102510, 104260, 105210, 105264, 105750, 108135, 110758, 115672, 116725, 117067, 118440, 120600, 123354, 124483, 125248, 125433, 125460, 125500, … (Folge A014575 in OEIS)

• Es gibt viele bekannte Folgen von unendlich vielen Vampirzahlen, die einem Muster folgen, wie zum Beispiel:

$1530=30\cdot 51$

$150300=300\cdot 501$

$15003000=3000\cdot 5001$

$\ldots$

In diesem Fall enden jeweils nicht beide Faktoren mit Nullen, somit sind diese Zerlegungen erlaubt (nicht erlaubt wäre zum Beispiel $153000=300\cdot 510$).

• Eine Vampirzahl kann auch mehrere Reißzahnpaare haben. Die kleinste Vampirzahl mit 2 Reißzahnpaaren lautet:

$125460=204\cdot 615=246\cdot 510$

Die kleinsten Vampirzahlen mit 2 Reißzahnpaaren lauten:

125460, 11930170, 12054060, 12417993, 12600324, 12827650, 13002462, 22569480, 23287176, 26198073, 26373600, 26839800, 46847920, 61360780, … (Folge A048936 in OEIS)

• Die kleinste Vampirzahl mit 3 Reißzahnpaaren lautet:

$13078260=1620\cdot 8073=1863\cdot 7020=2070\cdot 6318$

Die kleinsten Vampirzahlen mit 3 Reißzahnpaaren lauten:

13078260, 107650322640, 113024597400, 119634515208, 134549287600, 135173486250, 138130447950, 146083269717,, … (Folge A048937 in OEIS)

• Die kleinste Vampirzahl mit 4 Reißzahnpaaren lautet:

$16758243290880=1982736\cdot 8452080=2123856\cdot 7890480=2751840\cdot 6089832=2817360\cdot 5948208$

• Die kleinste Vampirzahl mit 5 Reißzahnpaaren lautet:

$24959017348650=2947050\cdot 8469153=2949705\cdot 8461530=4125870\cdot 6049395=4129587\cdot 6043950=4230765\cdot 5899410$

Erzeugung von Vampirzahlen

• Man kann Klassen von Vampirzahlen mittels geeigneter Formeln erzeugen, wie zum Beispiel die folgende:

Sei $a:=25\cdot 10^{k}+1$

Sei $b:=100\cdot {\frac {10^{k+1}+52}{25}}$

Dann erhält man die Vampirzahl $n:=a\cdot b$

Beweis:

${\begin{array}{rcl}n&=&a\cdot b\\&=&(25\cdot 10^{k}+1)\cdot 100\cdot {\frac {10^{k+1}+52}{25}}\\&=&100\cdot 10^{k}\cdot (10^{k+1}+52)+100\cdot {\frac {10^{k+1}+52}{25}}\\&=&(10^{k+1}+52)\cdot 10^{k+2}+100\cdot {\frac {10^{k+1}+52}{25}}\\&=&a^{*}\cdot 10^{k+2}+b\\&=&8\cdot (26+5\cdot 10^{k})\cdot (1+25\cdot 10^{k})\end{array}}$

wobei $a^{*}$ die Zahl $a$ ergibt, allerdings mit umgedrehter Ziffernreihenfolge. $\Box$

Beispiel:

Sei $k:=2$. Dann ist $a=25\cdot 10^{k}+1=25\cdot 10^{2}+1=2501$ und $b=100\cdot {\frac {10^{k+1}+52}{25}}=100\cdot {\frac {10^{2+1}+52}{25}}=4\cdot 1052=4208$. Somit erhalten wir $a\cdot b=2501\cdot 4208=10524208$, eine Zahl, die tatsächlich aus denselben Ziffern besteht wie die beiden Ausgangszahlen $a$ und $b$.

Vampirquadratzahlen

Eine Vampirquadratzahl ist eine Vampirzahl, die gleichzeitig eine Quadratzahl ist. Ihre beiden Teiler (Reißzähne) sind also gleich.

Beispiele

• Die kleinste Vampirquadratzahl ist $5267275776=72576^{2}$.

• Die folgende Liste gibt die kleinsten Zahlen an, die, mit sich selber multipliziert, Vampirquadratzahlen ergeben:

72576, 406512, 415278, 494462, 603297, 725760, 3279015, 4065120, 4152780, 4651328, 4915278, 4927203, 4944620, 4972826, 4974032, 4985523, 4989323, 5002245, 5016125, 6032970, 6214358, 6415002, 6524235, 7257600, 9883667, … (Folge A114258 in OEIS)

Pseudovampirzahlen

Eine $n$-stellige Pseudovampirzahl (oder entstellte Vampirzahl) hat ähnliche Eigenschaften wie eine Vampirzahl mit folgenden Unterschieden:

• Die Reißzähne von Pseudovampirzahlen müssen nicht genau ${\frac {n}{2}}$ Stellen haben.
• Pseudovampirzahlen dürfen auch eine ungerade Anzahl von Stellen haben.
• Es sind mehr als zwei Reißzähne erlaubt.

Beispiele

• Die Zahl $126=6\cdot 21$ ist eine Pseudovampirzahl.

• Die Zahl $1395=5\cdot 9\cdot 31$ ist eine Pseudovampirzahl.

• Die kleinsten Pseudovampirzahlen lauten:

126, 153, 688, 1206, 1255, 1260, 1395, 1435, 1503, 1530, 1827, 2187, 3159, 3784, 6880, 10251, 10255, 10426, 10521, 10525, 10575, 11259, 11439, 11844, 11848, 12006, 12060, 12384, 12505, 12546, 12550, 12595, 12600, 12762, 12768, 12798, 12843, 12955, 12964, … (Folge A020342 in OEIS)

Vampir-Primzahlen

Eine Vampir-Primzahl oder prime Vampirzahl ist eine Vampirzahl, deren Reißzähne ihre Primfaktoren sind. Die Vampirzahl selbst kann nicht prim sein, da sie zwei Teiler (Reißzähne) benötigt. Sie muss eine Fastprimzahl zweiter Ordnung sein („Semiprimzahl“).

Vampir-Primzahlen wurden erstmals von Carlos Rivera im Jahr 2002 definiert.

Beispiele

• Die kleinste Vampir-Primzahl ist $117067=167\cdot 701$, wobei die Reißzähne $167$ und $701$ beide Primzahlen sind.

• Die kleinsten Vampir-Primzahlen lauten:

117067, 124483, 146137, 371893, 536539, 10349527, 10429753, 10687513, 11722657, 11823997, 12451927, 12484057, 12894547, 13042849, … (Folge A289911 in OEIS)

• Die kleinste prime Vampirquadratzahl ist die folgende:

$2459319153459529=49591523^{2}$

Dabei ist $49591523$ eine Primzahl.

• Die größte bekannte Vampir-Primzahl ist gleichzeitig eine prime Vampirquadratzahl:

$(94892254795\cdot 10^{103294}+1)^{2}$

Sie wurde im September 2007 von Jens K. Andersen entdeckt. Die beiden primen Reißzähne sind $a=b=94892254795\cdot 10^{103294}+1$ und haben jeweils 206610 Stellen.

• Die folgende Tabelle gibt an, wie viele $k$-stellige Vampirzahlen mit $f$ Reißzähnen es gibt.

$k$ Stellen	etwa jede .. Zahl ist Vampirzahl	Vampirzahl mit mindestens $f$ Reißzähnen					gesamt	Vampir- Primzahlen
		$f=1$	$f=2$	$f=3$	$f=4$	$f=5$
4	1286.	7	0	0	0	0	7	0
6	6081.	148	1	0	0	0	149	5
8	27881.	3228	14	1	0	0	3243	57
10	82984.	108454	172	0	0	0	108626	970
12	204980.	4390670	2998	13	0	0	4393681	26653
14	431813.	208423682	72630	140	3	1	208496456	923920

Doppelte Vampirzahlen

Eine doppelte Vampirzahl ist eine Vampirzahl, die Teiler (also Reißzähne) hat, die ebenfalls Vampirzahlen sind.

Beispiel

• Die kleinste doppelte Vampirzahl lautet:

$1047527295416280=25198740\cdot 41570622=(2940\cdot 8571)\cdot (5601\cdot 7422)$

Römische Vampirzahlen

Eine römische Vampirzahl ist eine römische Zahl mit denselben Zeichen wie ihre Teiler.

Beispiel

$\operatorname {VIII} =\operatorname {II} \cdot \operatorname {IV}$

Vampirzahlen in anderen Zahlsystemen

Obiger Abschnitt behandelte Vampirzahlen im Dezimalsystem, also zur Basis $b=10$.

Betrachtet man Vampir-Zahlen in anderen Positionssystemen ungleich $b=10$, so nennt man sie Vampirzahl zur Basis $b$.

Beispiele

Die folgende Tabelle gibt ein paar Vampirzahlen zu verschiedensten Basen an:

Basis $b$	ausgewählte Vampirzahlen zu dieser Basis
2	$10110\cdot 11101=1001111110$, $10111\cdot 11001=1000111111$, $11001\cdot 11100=1010111100$, $11001\cdot 11110=1011101110$, $11010\cdot 11011=1010111110$
3	$200000\cdot 200011=110002200000$, $200002\cdot 212120=120202202010$, $222011\cdot 222011=221022201121$
4	$113\cdot 302=101332$, $201\cdot 210=102210$, $201\cdot 300=120300$
5	$100201\cdot 444400=100140424400$, $144221\cdot 400303=124404320013$
6	$101021\cdot 553345=100353154125$, $111101\cdot 533423=104153113123$
8	$21\cdot 50=1250$, $21\cdot 66=1626$, $30\cdot 41=1430$
12	$828\cdot B77=7B7828$, $850\cdot 969=685990$
16	$21\cdot 90=1290$, $21\cdot EA=1E2A$, $30\cdot 81=1830$
20	$1A\cdot H5=15HA$, $21\cdot B0=12B0$, $21\cdot IC=1I2C$

Literatur

• Clifford A. Pickover: Keys To Infinity. John Wiley & Sons, 1997, ISBN 0-471-11857-5, S. 332. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Vampire Number. In: MathWorld (englisch).
• Al Sweigart: Vampire Numbers Visualized. Coffeeghost.net, abgerufen am 28. März 2022. 
• Vampire Numbers - Numberphile auf YouTube
• Clifford A. Pickover: Pickover's original post describing vampire numbers. Abgerufen am 28. März 2022. 
• Puzzle 199. The Prime-Vampire numbers. Primepuzzles.net, abgerufen am 28. März 2022. 
• Jens Kruse Andersen: Vampire numbers. primerecords.dk, abgerufen am 28. März 2022. 
• Primzahlen (Abschnitt Vampir-Zahl). mathematikalpha.de, abgerufen am 28. März 2022.