Verma-Modul

In der Mathematik ist der Verma-Modul ein unendlich-dimensionaler Modul über der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra, aus dem sich die endlich-dimensionalen Darstellungen eines gegebenen höchsten Gewichts gewinnen lassen.

Konstruktion

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, ${\mathfrak {h}}$ eine Cartan-Unteralgebra, $R$ das Wurzelsystem mit $R^{+}$ als Menge der positiven Wurzeln. Für jedes $\alpha \in R^{+}$ wählen wir ein $X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }$ und $Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }$.

Zu einem Gewicht $\lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C}$ konstruiert man den Verma-Modul $W_{\lambda }$ als Quotient

$W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }$

der universellen einhüllenden Algebra $U({\mathfrak {g}})$ nach dem Linksideal $I_{\lambda }$ erzeugt von allen Elementen der Form

$X_{\alpha },\alpha \in R^{+}$

und

$H-\lambda (H)1,H\in {\mathfrak {h}}$.

Für einen Vektor höchsten Gewichts $v\in W_{\lambda }$ ist die durch

$\Phi (x)=x\cdot v$

definierte Abbildung $\Phi \colon U({\mathfrak {g}})\to W_{\lambda }$ ein surjektiver Homomorphismus.

Beispiel sl(2,C)

Wir betrachten das Beispiel ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$. Für ${\mathfrak {h}}$ wählen wir den Aufspann von $H=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$.

Für ein beliebiges $m\in \mathbb {C}$ definieren wir $\lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C}$ durch $\lambda (H)=m$. Wir wählen $X=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)$ und $Y=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right)$.

Dann wird der Verma-Modul $W_{\lambda }$ von linear unabhängigen Vektoren $v_{0},v_{1},v_{2},\ldots$ erzeugt und $U({\mathfrak {g}})$ wirkt durch

$X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1},Y\cdot v_{j}=v_{j+1},H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}$.

Wegen $X\cdot v_{m+1}=0$ ist der von $v_{m+1},v_{m+2},\ldots$ aufgespannte Untervektorraum ein invarianter Unterraum. Der Quotient von $W_{\lambda }$ nach diesem Unterraum gibt die endlich-dimensionale Darstellung von ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ mit höchstem Gewicht $\lambda$.

Universelle Eigenschaft

Zu jeder Darstellung $V$ von ${\mathfrak {g}}$, deren höchstes Gewicht $\lambda$ ist, gibt es einen surjektiven Lie-Algebren-Homomorphismus $W_{\lambda }\to V$.

Literatur

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, J. (1980), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.