Wägewert

Der Wägewert (früher auch Gewicht in Luft oder Tauchgewicht) eines Körpers (Wägegutes) ist gleich der Masse der Gewichtstücke, die die Waage im Gleichgewicht halten oder die gleiche Anzeige an der Waage wie das Wägegut liefern. Der Wägewert wird in der Einheit der Masse, also in Kilogramm, angegeben. Bei einer Wägung in Luft (z. B. mit Hilfe einer Balkenwaage) weicht aufgrund des Auftriebs der Wägewert eines Körpers von seiner Masse ab, wenn er eine andere Dichte als das Gewichtstück hat.

Herleitung

Auf einen zu wiegenden Körper wirken zwei Kräfte ein: die nach unten gerichtete Gewichtskraft Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle F_{\mathrm {G} }} und – bei Wägung in Luft – der nach oben gerichtete Auftrieb $F_{\mathrm {A} }$. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass ein Körper der unbekannten Masse $m$ mit Hilfe einer Balkenwaage mit Gewichtstücken der bekannten Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_\mathrm{G}} verglichen wird.

Die auf den Körper wirkende Gewichtskraft ist durch $F_{\mathrm {G} }=mg$ gegeben, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} die Erdbeschleunigung bezeichnet. Wenn der Körper das Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} hat und er in Luft der Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_\mathrm{L}} gewogen wird, dann entspricht sein Auftrieb der Gewichtskraft der von ihm verdrängten Luft: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_\mathrm{A} = \rho_\mathrm{L} V g} . Das Volumen ergibt sich seinerseits, bei bekannter Dichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} des Körpers, als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = m / \rho} . Folglich ist die an die Waage angreifende Kraft:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F = F_\mathrm{G} - F_\mathrm{A} = m g - \rho_\mathrm{L} V g = m g \left( 1 - \frac{\rho_\mathrm{L}}{\rho} \right)}

Eine entsprechende Überlegung gilt auch für die Gewichtstücke (Masse $m_{\mathrm {G} }$, Dichte $\rho _{\mathrm {G} }$). Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn die Kraft auf beiden Seiten des Waagebalkens gleich ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m \left( 1 - \frac{\rho_\mathrm{L}}{\rho} \right) = m_\mathrm{G} \left( 1 - \frac{\rho_\mathrm{L}}{\rho_\mathrm{G}} \right)}

Laut Definition ist der Wägewert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} des Körpers aber gleich der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_\mathrm{G}} der Gewichtstücke, die ihm das Gleichgewicht halten. Durch die Wägung wird also ein von der tatsächlichen Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} des Körpers abweichender Wert ermittelt, der mit dieser wie folgt zusammenhängt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = m \cdot \frac{1 - \frac{\rho_\mathrm{L}}{\rho}}{1 - \frac{\rho_\mathrm{L}}{\rho_\mathrm{G}}}}

Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} und Wägewert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} eines Körpers unterscheiden sich also geringfügig. Für eine bessere sprachliche Unterscheidung wird deshalb manchmal der Ausdruck wahre Masse (en: true mass) für die Masse verwendet. Wenn die beiden Dichten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_\mathrm{G}} gleich sind, ist der Wägewert gleich der Masse des Körpers.

Umgekehrt kann bei genauen Messungen diese systematische Abweichung rechnerisch als Auftriebskorrektur berücksichtigt werden. Für einen gemessenen Wägewert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} erhält man die Masse $m$ aus der Gleichung:

$m=W\cdot {\frac {1-{\frac {\rho _{\mathrm {L} }}{\rho _{\mathrm {G} }}}}{1-{\frac {\rho _{\mathrm {L} }}{\rho }}}}$

Konventioneller Wägewert

Der konventionelle Wägewert ist gemäß einer Empfehlung der Internationalen Organisation für das gesetzliche Messwesen eine Rechengröße, die einem Gewichtstück zugeordnet wird, wenn es bei einer Temperatur von 20 °C einem Bezugsgewichtstück der Dichte 8000 kg/m³ in Luft der Dichte 1,2 kg/m³ das Gleichgewicht hält.

Setzt man diese Bezugsdichten in die obige Gleichung ein, so erhält man für den konventionellen Wägewert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_\mathrm{k}} eines Körpers:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_\mathrm{k} = m \cdot \frac{1 - \frac{1,2\,\mathrm{kg\,m^{-3}}}{\rho}}{1 - \frac{1,2\,\mathrm{kg\,m^{-3}}}{8000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}}} = m \cdot \frac{1 - \frac{1,2\,\mathrm{kg\,m^{-3}}}{\rho}}{0{,}99985}}

Beim Vergleich von Gewichtstücken, die aus Stahl bestehen und deren Dichte nur geringfügig von 8000 kg/m³ abweicht, hat der so definierte konventionelle Wägewert den Vorteil, dass die verbleibende Luftdichtekorrektur (d. h. der Unterschied zwischen Masse und konventionellem Wägewert) sehr klein wird und meistens vernachlässigt werden kann. Dies vereinfacht einerseits das Verfahren und andererseits werden dadurch kleine Kalibrierunsicherheiten realisierbar.

Beispiele

Ein Stück Kork (Dichte 0,15 g/cm³) der Masse 1 kg hat bei Wägung mit Gewichtstücken aus Stahl (Dichte 8,0 g/cm³ = 8000 kg/m³) in Luft der Dichte 1,2 kg/m³ einen Wägewert von 0,99215 kg.

Literatur

• Paul Profos und Tilo Pfeifer (Hrsg.): Handbuch der industriellen Messtechnik. 6. Auflage, Oldenbourg, München/Wien 1993, ISBN 3-486-22592-8.
• Roland Nater u. a.: Wägelexikon. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-75907-2.