Wang-Sequenz

In der Mathematik ist die Wang-Sequenz eine exakte Sequenz von Homologiegruppen für Faserbündel über Sphären. Sie ist nach Hsien Chung Wang benannt.

Sei $F\to E\to S^{n}$ eine Serre-Faserung über einer Sphäre $S^{n}$ mit $n\geq 2$. Dann hat man eine exakte Sequenz

$\ldots \to H_{r}(F)\to H_{r}(E)\to H_{r-n}(F)\to H_{r-1}(F)\to \ldots$.

Insbesondere hat man für $r\leq n-2$ einen Isomorphismus $H_{r}(F)\simeq H_{r}(E)$.

Der Beweis ist eine Anwendung der Leray-Serre-Spektralsequenz.

Für Faserbündel $F\to E\to S^{1}$ über dem Kreis $S^{1}$ erhält man durch Anwendung von Mayer-Vietoris-Sequenzen eine exakte Sequenz

$\ldots \to H^{k}(E)\to H^{k}(F)\to H^{k}(F)\to H^{k+1}(E)\to \ldots$,

wobei der Homomorphismus $H^{k}(F)\to H^{k}(F)$ die Abbildung $f^{*}-I$ ist für die Monodromie $f^{*}$ und die Identitätsabbildung $I$.

Literatur

• J. McCleary: User’s guide to spectral sequences. Mathematics Lecture Series, 12. Wilmington, Delaware: Publish or Perish (1985)