Weierstraß-Polynom

Der mathematische Begriff des Weierstraß-Polynoms, benannt nach Karl Weierstraß, tritt in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher auf. Es handelt sich um holomorphe Funktionen bzw. Funktionskeime in einem Punkt, die bezüglich einer der Variablen ein normiertes Polynom mit Koeffizienten aus dem Ring der holomorphen Funktionen in den anderen Variablen ist, so dass die Koeffizienten in diesem Punkt ebenfalls verschwinden.

Definitionen

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_n\mathcal{O}} der Ring der konvergenten Potenzreihen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\in \Complex^n} . Dieser Ring ist isomorph zum Ring der Funktionskeime holomorpher Funktionen in 0, weshalb diese Begriffsbildung auch für Keime durchgeführt werden kann. Durch die injektive Abbildung

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {}_{n-1}{\mathcal {O}}\rightarrow {}_{n}{\mathcal {O}},\quad f\mapsto {\tilde {f}},\quad {\tilde {f}}(z_{1},\ldots ,z_{n}):=f(z_{1},\ldots ,z_{n-1})}

fasst man ${}_{n-1}{\mathcal {O}}$ als Unterring von Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {}_{n}{\mathcal {O}}} auf. Das heißt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\in {}_{n-1}\mathcal{O}} wird dadurch zu einem Element aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_n\mathcal{O}} , dass man bei einer Auswertung in den Variable $(z_{1},\ldots ,z_{n})$ die letzte Variable einfach ignoriert.

Die Variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_n} ist selbst ein Polynom und daher ein Element aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_n\mathcal{O}\setminus {}_{n-1}\mathcal{O}} . Adjungiert man $z_{n}$ zum Unterring ${}_{n-1}{\mathcal {O}}$, so erhält man den Polynomring ${}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]$ mit Koeffizienten aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_{n-1}\mathcal{O}} , und man hat die Inklusionen

${}_{n-1}{\mathcal {O}}\subset {}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]\subset {}_{n}{\mathcal {O}}$.

Jedes Element aus Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f\in {}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]} hat eine eindeutige Darstellung

$f(z_{1},\ldots ,z_{n})=a_{m}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\cdot z_{n}^{m}+a_{m-1}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\cdot z_{n}^{m-1}+\ldots +a_{1}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\cdot z_{n}+a_{0}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})$

mit konvergenten Potenzreihen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0,a_1,\ldots,a_{m-1},a_m \in {}_{n-1}\mathcal{O}} .

Ein solches Element heißt Weierstraß-Polynom, falls

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_m} ist die konstante Einsfunktion, das heißt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist ein normiertes Polynom über ${}_{n-1}{\mathcal {O}}$, und
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_k(0,\ldots, 0)=0} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k=0,\ldots,m-1} .

Beispiele

• Für Funktionen einer Variablen ist ein Weierstraß-Polynom nichts weiter als ein normiertes Monom, also von der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_1^m} .

• Das Polynom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_1z_2 \in {}_1\mathcal{O}[z_2]} ist kein Weierstraß-Polynom, da es nicht normiert ist.

• Das Polynom $z_{2}^{3}+\exp(z_{1})z_{2}+z_{1}^{4}\in {}_{1}{\mathcal {O}}[z_{2}]$ ist ebenfalls kein Weierstraß-Polynom, da der Koeffizient von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_2} nicht in 0 verschwindet.

• Das Polynom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_2^3 + \sin(z_1)z_2 + z_1^4 \in {}_1\mathcal{O}[z_2]} ist ein Weierstraß-Polynom.

Bemerkung

Weierstraß-Polynome spielen eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher, da sie eine Art Division mit Rest erlauben, wie sie im Divisionssatz von Weierstraß vorkommt. Die irreduziblen Elemente im Ring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_n\mathcal{O}} sind im Wesentlichen die im Polynomring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_{n-1}\mathcal{O}[z_n]} irreduziblen Weierstraß-Polynome.

Siehe auch

• Weierstraßscher Vorbereitungssatz