Woodbury-Matrix-Identität

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Die Woodbury-Matrix-Identität, benannt nach Max A. Woodbury,[1][2] besagt, dass die Inverse einer Rang--Korrektur einer Matrix als eine Rang--Korrektur der Inversen ausgedrückt werden kann. Gängig sind auch die Bezeichnungen Sherman-Morrison-Woodbury-Formel oder nur Woodbury-Formel. Doch die Gleichung wurde schon vor Woodburys Bericht erwähnt.[3]

Die Woodbury-Gleichung lautet[4]

,

wobei , , und Matrizen des korrekten Formats bezeichnen. Genauer ist eine -Matrix, eine -Matrix, eine -Matrix und eine -Matrix.

Im Spezialfall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k=1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C=1} , wird die Gleichung auch Sherman-Morrison-Formel genannt. Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} die Einheitsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} ist, wird die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I+VA^{-1}U} oft Kapazitätsmatrix genannt.[3]

Anwendung

Die Identität ist nützlich in vielen numerischen Berechnungen, in denen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A^{-1}} bereits berechnet ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A+UCV)^{-1}} benötigt wird. Mit der Inversen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , ist es nur nötig die Inverse von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C^{-1} + VA^{-1}U} zu berechnen. Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} eine wesentlich kleinere Dimension hat als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , ist das viel effizienter als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A + UCV} direkt zu invertieren.

Die Formel wird auch in der Herleitung zu speicherplatzeffizienten Darstellungen von Quasi-Newton-Verfahren benutzt.[5]

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ Max A. Woodbury: Inverting modified matrices. In: Memorandum Rept. 42, Statistical Research Group, Princeton University, Princeton NJ 1950, 4pp MR38136
  2. ↑ Max A. Woodbury: The Stability of Out-Input Matrices. Chicago IL 1949, 5 Seiten, MR32564
  3. ↑ a b William W. Hager: Updating the inverse of a matrix. In: SIAM Review. 31, Nr. 2, 1989, S. 221–239. MR 997457 – JSTOR 2030425. doi:10.1137/1031049.
  4. ↑ Nicholas Higham: Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2nd. Auflage, SIAM, 2002, ISBN 978-0-89871-521-7, S. 258, MR 1927606.
  5. ↑ Byrd Nocedal Schnabel: Representations of quasi-Newton matrices and their use in limited memory methods. In: Mathematical Programming. 63, Nr. 1, 1994, S. 129–156.
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