Zeitinvarianz

Die Zeitinvarianz ist in der Systemtheorie die Eigenschaft eines Systems, zu jeder Zeit das gleiche Verhalten bei gleicher Eingabe zu zeigen – es ist über die Zeit invariant. Die Parameter seiner mathematischen Beschreibung sind zeitlich unveränderlich, und die Matrizen der Zustandsraumdarstellung sind konstant.

Ein System ist ein Gebilde mehrerer Elemente, die eine Einheit bilden, z. B. eine elektronische Schaltung oder ein Pendel. Die Parameter eines Systems sind dann die Kenngrößen der elektronischen Bauteile oder geometrische Abmessungen.

Gemeinsam mit der Linearität vereinfacht sich die Systembeschreibung damit zu den linearen, zeitinvarianten Systemen.

Zeitinvarianz

Aus der Systemeigenschaft Zeitinvarianz folgt, dass die zeitliche Verschiebung des Eingangssignals des Systems zu einer gleichartigen Verschiebung des Ausgangssignals führt, ohne dessen zeitlichen Verlauf in anderer Form zu beeinflussen.

Das heißt, das System

$y(t)=H\{x(t)\}$

liefert auf ein Eingangssignal $x$, das um die Zeit $t_{0}$ verzögert wurde, ein gleiches, entsprechend verzögertes Ausgangssignal $y$:

$y(t-t_{0})=H\{x(t-t_{0})\}.$

Ein System, das die oben beschriebene Eigenschaft nicht besitzt, wird als zeitvariant bezeichnet.

Energieerhaltung

Nach dem Noether-Theorem gehört in der Physik zu jeder kontinuierlichen Symmetrie auch eine Erhaltungsgröße. Zur Zeitinvarianz (Homogenität der Zeit) gehört die Energieerhaltung.

Beispiele für zeitlich invariante Systeme sind abgeschlossene Systeme, z. B. ein ideales Pendel ohne Berücksichtigung der Reibung. Bei diesem ändern sich zwar zusammen mit der Geschwindigkeit des Pendels (also des Systems) seine kinetische Energie und mit dessen Lage im Raum seine potentielle Energie zeitlich, jedoch bleibt deren Summe, die Gesamtenergie, konstant. Es ist egal, zu welchem Zeitpunkt das Pendel betrachtet wird; seine Energie E ist immer gleich:

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=0\quad \Leftrightarrow \quad E={\text{const.}}$

Beispiele

1. Beispiel Ein elektrischer Widerstand R ist zeitinvariant. Fließt durch ihn ein konstanter Strom I, dann fällt an ihm eine Spannung U von $U=R\cdot I$ ab. Auch mehrere Minuten später liegt an ihm die gleiche Spannung an.

Bei genauerer Betrachtung ist die Spannung geringfügig höher, weil sich der Widerstand durch den Stromfluss erwärmt hat. Diese Erwärmung ist aber nicht direkt von der Zeit abhängig, sondern von dem Eingangssignal Strom, der Wärmeabgabe und der Ausgangstemperatur. Unter gleichen Ausgangsbedingungen wird er zu jeder Zeit die gleiche Spannung liefern.

2. Beispiel Stellen Sie sich folgende zwei Systeme vor:

• System A: $y(t)=t\cdot x(t)$
• System B: $y(t)=10\cdot x(t)$

Da System A eindeutig von t abhängt, ist dieses zeitvariant. Das System B ist nicht direkt von t abhängig und ist deswegen zeitinvariant.