Zurückschneiden durch Rangbetrachtung

Das Zurückschneiden durch Rangbetrachtung (oder Trunkierung durch Rangbetrachtung oder Lokalisierung durch Rangbetrachtung) ist eine in der Mengenlehre verwendete und von Tarski und Scott 1955 vorgeschlagene Methode, wie man das Studieren einer Klasse auf das Studieren ihrer Teilmengen beschränken kann.

Um dies zu erreichen, definiert man für eine Klasse $K\subseteq {\textrm {V}}=\{\,x\;|\;\exists _{y}\,x\in y\,\}$ die Teilklasse $K_{\text{min}}\equiv \tau (K):=\{\,x\in K\;|\;\forall _{y\in K}\rho (x)\leq \rho (y)\,\}$, wenn $\rho :{\textrm {V}}\rightarrow {\textrm {On}}$ die Rangfunktion ist. Die Existenz der Rangfunktion wird entweder durch spezielles Axiom gesichert oder mit Hilfe des Fundierungs- und des Ersetzungaxioms bewiesen. Mit

$\xi =\min _{x\in K}\rho (x)$

ist $\tau (K)$ eine Menge, deren Rang höchstens $\xi +1$ beträgt.

Mittels Zurückschneiden durch Rangbetrachtung lassen sich folgende Sätze beweisen:

• Für jede Relation $R$ existiert eine vorgängerkleine Teilrelation $S$ mit demselben Definitionsbereich.
• Für jede Relation $R$ existiert eine Teilrelation $S$ mit demselben Wertebereich, deren inverse Relation vorgängerklein ist.
• Wenn jede nicht leere Menge ein $\prec$-kleinstes Element hat, dann hat auch jede nicht leere Klasse ein $\prec$-kleinstes Element und für jede mengentheoretische Formel $\Phi$ gilt:

$(\forall _{x}\,(\forall _{y\prec x}\,\Phi (y)\Rightarrow \Phi (x)))\Rightarrow \forall _{z}\,\Phi (z)$ (Verallgemeinerung des Induktionsprinzipes).

• Für jede Menge $A$ und endlich viele Relationen $R_{1},...,R_{k}$ existiert eine für jedes $i\in \{1,...,k\}$ fast $R_{i}$-abgeschlossene Menge $B\supseteq A$.
• Für jede Äquivalenzrelation $\approx$ existiert eine Funktion $F$, die

$\forall _{x}\,\forall _{y}\,(F(x)=F(y)\Leftrightarrow x\approx y)$

erfüllt.

Weblinks

• Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994