Zustandsgleichung von Mie-Grüneisen

Die Mie-Grüneisen-Zustandsgleichung (engl. auch Mie-Gruneisen equation of state), benannt nach Gustav Mie und Eduard Grüneisen, ist eine Zustandsgleichung der Physik, die für hochverdichtete Materie einen speziellen funktionalen Zusammenhang zwischen der Dichte $\rho$, dem Druck $p$ und der absoluten Temperatur $T$ darstellt. Sie wird u. a. zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit und von Stoßwellen bei hohen Umgebungsdrücken sowie zur Modellierung von seismologischen Untersuchungen des Erdinneren verwendet.

Die spezielle Annahme von Mie-Grüneisen bezieht sich auf die Temperaturabhängigkeit, die nur in der Form einer "skalierten Temperatur" $t$ auftreten darf:

$t(T,\rho )={\frac {T}{TD(\rho )}},$

wobei der dichte- oder volumen-abhängige "Temperaturparameter" $TD(\rho )$ pauschal das Frequenzspektrum der Gitterschwingungen repräsentiert und üblicherweise mehrere Materialparameter enthält.

Spezielle Form der Gleichung

Eine spezielle Form der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung stellt die Messergebnisse von Hochdruckexperimenten auf der Basis von drei Materialparametern im temperaturunabhängigen Teil dar:

$p=p_{0}\cdot \left(1-\Gamma \cdot \eta \right)+{\frac {\rho _{0}\cdot C_{0}^{2}\cdot \eta }{\left(1-s\cdot \eta \right)^{2}}}\cdot \left(1-{\frac {\Gamma \cdot \eta }{2}}\right)+\Gamma \cdot \rho _{0}\cdot \left(e-e_{0}\right)$

mit

$\eta =1-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}$.

Hierbei bezeichnet

• $\rho _{0}$ die Dichte im Normalzustand
• $C_{0}$ die Schallgeschwindigkeit im Normalzustand
• $\Gamma =\Gamma _{0}$ den dimensionslosen Grüneisenkoeffizienten im Normalzustand
• $s$ den linearen Hugoniot-Steigungskoeffizient (engl. linear Hugoniot slope coefficient), eine dimensionslose Materialkonstante
• $e-e_{0}$ die spezifische innere Energie, die im Mie-Grüneisen-Fall nur von der skalierten Temperatur $t$ (s. o.) abhängen darf.

Beispiele für Parameter der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung

Wasser: $\rho _{0}=1000$ kg/m³ ; $C_{0}=1489$ m/s ; $s=1{,}79$ ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma = 1{,}65 }

Stahl: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_0 = 7850 } kg/m³ ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_0 = 4500 } m/s ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = 1{,}49 }  ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma = 2{,}17 }

Kupfer: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_0 = 8930 } kg/m³ ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_0 = 3940 } m/s ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = 1{,}48 }  ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma = 1{,}96 }

Zusammenhang der Parameter mit anderen thermodynamischen Zustandsgrößen

Die Schallgeschwindigkeit, mit der sich kleine Druck- und Dichteschwankungen in einem Medium fortpflanzen, ist bei reversibler adiabatischer Zustandsänderung (d. h. bei konstanter Entropie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S } ) gegeben durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_S=\sqrt{\left. \frac{\partial p}{\partial \rho}\right|_S} = \sqrt{\frac{p}{\rho}\cdot \gamma} }

Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgröße.

Der Adiabatenexponent Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma } ergibt sich aus:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma = - \frac{V}{p}\cdot \left. \frac{\partial p}{\partial V}\right|_S }

Der Grüneisenkoeffizient ist definiert durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma = - \frac{V}{T}\cdot \left. \frac{\partial T}{\partial V} \right|_S = \frac{\beta}{\kappa \cdot \rho \cdot c_V} }

wobei die Maxwell-Relation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left. \frac{\partial S}{\partial V} \right|_T = \left. \frac{\partial p}{\partial T} \right|_V } und folgende Bezeichnungen verwendet wurden:

Thermische Ausdehnung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta = \frac{1}{V}\cdot \left. \frac{\partial V}{\partial T} \right|_p = - \frac{1}{\rho} \cdot \left. \frac{\partial \rho}{\partial T} \right|_p }

Isotherme Kompressibilität:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa = - \frac{1}{V} \cdot \left. \frac{\partial V}{\partial p} \right|_T }

Isochore spezifische Wärmekapazität:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_V = \frac{T}{\rho \cdot V} \cdot \left. \frac{\partial S}{\partial T} \right|_V }

Literatur

• Debye, P.: Zur Theorie der spezifischen Wärmen. In: Annalen der Physik 39, 789–839 (1912)
• Grüneisen, E.: Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. In: Annalen der Physik 39, 257–306 (1912)
• Mie, G.: Grundlagen einer Theorie der Materie. In: Annalen der Physik 2, 1–40 (1912)
• G.McQueen, S.P.Marsh, J.W.Taylor, J.N.Fritz, W.J.Carter: "High Velocity Impact Phenomena", (1970), S. 230
• M.A.Zocher et al.: An evaluation of several hardening models using Taylor cylinder impact data. Proc. European Congress on computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS, Barcelona, Spain
• W.B.Holzapfel: Equations of state for solids under strong compression. In: Zeitschrift für Kristallographie. 216 (2000) S. 473–488